Задача B20: Дана фигура ABCDA, где B, C, D - вершины куба. Точка K находится на ребре AB куба, и соотношение длин отрезков AK и KV равно 2:1. Как найти значение выражения 12/cos²ф, где ф - угол между прямыми A1K и B1D1? Правильный ответ 78, но мне нужно решение. Я пытался решать, у меня получилось 156.

Геометрия 9 класс Углы и треугольники в пространстве геометрия 9 класс задача B20 куб угол A1K и B1D1 отрезки AK и KV решение задачи Тригонометрия косинус угла длина отрезков Новый

Для решения задачи начнем с того, что нужно определить координаты вершин куба и точку K. Предположим, что куб имеет длину ребра 3. Тогда координаты вершин куба можно задать следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(3, 3, 0)
• D(3, 0, 3)
• A1(0, 0, 3)
• B1(3, 0, 3)
• C1(3, 3, 3)
• D1(0, 3, 3)

Теперь найдем точку K на ребре AB. Так как соотношение отрезков AK и KB равно 2:1, можно выразить координаты точки K. Поскольку AB имеет длину 3, то:

• AK = 2/3 * 3 = 2
• KB = 1/3 * 3 = 1

Таким образом, координаты точки K будут (2, 0, 0).

Теперь найдем векторы A1K и B1D1:

• Вектор A1K: K(2, 0, 0) - A1(0, 0, 3) = (2 - 0, 0 - 0, 0 - 3) = (2, 0, -3)
• Вектор B1D1: D1(0, 3, 3) - B1(3, 0, 3) = (0 - 3, 3 - 0, 3 - 3) = (-3, 3, 0)

Теперь мы можем найти угол между векторами A1K и B1D1. Для этого используем формулу:

cos(ф) = (A1K * B1D1) / (|A1K| * |B1D1|),

где A1K * B1D1 - скалярное произведение векторов, а |A1K| и |B1D1| - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение:

• A1K * B1D1 = (2 * -3) + (0 * 3) + (-3 * 0) = -6

Теперь найдем длины векторов:

• |A1K| = sqrt(2² + 0² + (-3)²) = sqrt(4 + 0 + 9) = sqrt(13)
• |B1D1| = sqrt((-3)² + 3² + 0²) = sqrt(9 + 9 + 0) = sqrt(18) = 3sqrt(2)

Теперь подставим все в формулу для cos(ф):

cos(ф) = -6 / (sqrt(13) * 3sqrt(2)) = -2 / (sqrt(26))

Теперь найдем cos²(ф):

cos²(ф) = (-2 / sqrt(26))² = 4 / 26 = 2 / 13.

Теперь можем найти значение выражения 12 / cos²(ф):

12 / cos²(ф) = 12 / (2 / 13) = 12 * (13 / 2) = 78.

Таким образом, правильный ответ - 78.