Решение задач:

Задача 1: Найти радиус и полную площадь цилиндра, если осевое сечение представляет собой квадрат с диагональю 36 см.

1. Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, который в данном случае является квадратом. Диагональ квадрата равна 36 см.
2. Поскольку диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны квадрата (которая будет равна диаметру цилиндра).
3. Обозначим сторону квадрата через a. Тогда, по теореме Пифагора: a² + a² = 36². Это упрощается до 2a² = 1296, откуда a² = 648. Следовательно, a = √648 = 18√2 см.
4. Диаметр цилиндра равен стороне квадрата, то есть 18√2 см. Радиус (r) будет равен половине диаметра: r = 18√2 / 2 = 9√2 см.
5. Полная площадь поверхности цилиндра (Sполн) состоит из площади двух оснований и боковой поверхности: Sполн = 2Sосн + Sбок.
6. Площадь одного основания: Sосн = πr² = π(9√2)² = 162π см².
7. Высота цилиндра равна стороне квадрата, то есть 18√2 см. Боковая площадь: Sбок = 2πrh = 2π(9√2)(18√2) = 648π см².
8. Полная площадь поверхности цилиндра: Sполн = 2(162π) + 648π = 972π см².

Задача 2: Если радиус равен 7√2 см, как можно определить наибольшую площадь осевого сечения конуса?

1. Осевое сечение конуса - это равнобедренный треугольник. Чтобы площадь этого треугольника была максимальной, угол при вершине должен быть прямым (90°).
2. В этом случае, высота треугольника будет равна радиусу основания конуса, то есть 7√2 см.
3. Основание треугольника будет равно 2 радиусам, так как это диаметр круга: 2 × 7√2 = 14√2 см.
4. Площадь треугольника: S = 1/2 × основание × высота = 1/2 × 14√2 × 7√2 = 98 см².

Задача 3: При высоте конуса 4√3 см и угле при вершине осевого сечения 120°, как найти площадь основания конуса?

1. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с углом при вершине 120°.
2. Половина этого угла составляет 60°, и мы можем использовать тангенс для нахождения радиуса основания (r): tan(60°) = r / высота.
3. Подставляем значения: √3 = r / 4√3.
4. Решаем уравнение: r = 4√3 × √3 = 12 см.
5. Площадь основания конуса: Sосн = πr² = π(12)² = 144π см².