Чтобы найти длину пространственной ломаной, образованной отрезками DB1, BB1, B1C, C1D1 и D1D, давайте сначала разберемся с координатами вершин куба ANCDA1B1C1D1.

Предположим, что куб имеет длину ребра a. Тогда координаты вершин будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)

Теперь найдем длины каждого отрезка поочередно:

1. Отрезок DB1:

   Координаты точек D и B1: D(0, a, 0) и B1(a, 0, a).

   Длина отрезка можно найти по формуле:

   DB1 = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

   Подставляем значения: DB1 = √((a - 0)² + (0 - a)² + (a - 0)²) = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3.

2. Отрезок BB1:

   Координаты точек B и B1: B(a, 0, 0) и B1(a, 0, a).

   Длина отрезка BB1 = √((a - a)² + (0 - 0)² + (a - 0)²) = √(0 + 0 + a²) = a.

3. Отрезок B1C:

   Координаты точек B1 и C: B1(a, 0, a) и C(a, a, 0).

   Длина отрезка B1C = √((a - a)² + (a - 0)² + (0 - a)²) = √(0 + a² + a²) = √(2a²) = a√2.

4. Отрезок C1D1:

   Координаты точек C1 и D1: C1(a, a, a) и D1(0, a, a).

   Длина отрезка C1D1 = √((0 - a)² + (a - a)² + (a - a)²) = √(a² + 0 + 0) = a.

5. Отрезок D1D:

   Координаты точек D1 и D: D1(0, a, a) и D(0, a, 0).

   Длина отрезка D1D = √((0 - 0)² + (a - a)² + (0 - a)²) = √(0 + 0 + a²) = a.

Теперь сложим все длины отрезков, чтобы найти общую длину ломаной:

Длина ломаной = DB1 + BB1 + B1C + C1D1 + D1D = a√3 + a + a√2 + a + a = a(√3 + 2 + √2).

Ответ: Длина пространственной ломаной равна a(√3 + 2 + √2).