Дан куб ANCDA1B1C1D1. Какова длина пространственной ломаной, образованной отрезками DB1, BB1, B1C, C1D1, D1D?

Геометрия Колледж Пространственные фигуры длина пространственной ломаной куб ANCDA1B1C1D1 отрезки DB1 BB1 B1C C1D1 D1D Новый

Чтобы найти длину пространственной ломаной, образованной отрезками DB1, BB1, B1C, C1D1 и D1D, давайте сначала разберемся с координатами вершин куба ANCDA1B1C1D1.

Предположим, что куб имеет длину ребра a. Тогда координаты вершин будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)

Теперь найдем длины каждого отрезка поочередно:

1. Отрезок DB1:

   Координаты точек D и B1: D(0, a, 0) и B1(a, 0, a).

   Длина отрезка можно найти по формуле:

   DB1 = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

   Подставляем значения: DB1 = √((a - 0)² + (0 - a)² + (a - 0)²) = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3.

2. Отрезок BB1:

   Координаты точек B и B1: B(a, 0, 0) и B1(a, 0, a).

   Длина отрезка BB1 = √((a - a)² + (0 - 0)² + (a - 0)²) = √(0 + 0 + a²) = a.

3. Отрезок B1C:

   Координаты точек B1 и C: B1(a, 0, a) и C(a, a, 0).

   Длина отрезка B1C = √((a - a)² + (a - 0)² + (0 - a)²) = √(0 + a² + a²) = √(2a²) = a√2.

4. Отрезок C1D1:

   Координаты точек C1 и D1: C1(a, a, a) и D1(0, a, a).

   Длина отрезка C1D1 = √((0 - a)² + (a - a)² + (a - a)²) = √(a² + 0 + 0) = a.

5. Отрезок D1D:

   Координаты точек D1 и D: D1(0, a, a) и D(0, a, 0).

   Длина отрезка D1D = √((0 - 0)² + (a - a)² + (0 - a)²) = √(0 + 0 + a²) = a.

Теперь сложим все длины отрезков, чтобы найти общую длину ломаной:

Длина ломаной = DB1 + BB1 + B1C + C1D1 + D1D = a√3 + a + a√2 + a + a = a(√3 + 2 + √2).

Ответ: Длина пространственной ломаной равна a(√3 + 2 + √2).