Два друга-пирата решили каждый день выполнять одно и то же действие: каждый из них высыпает на стол половину своих монет, затем монеты перемешиваются, и каждый забирает себе половину монет со стола. Через три дня у первого пирата оказалось 19 монет, а у второго — 21. Сколько монет было у каждого пирата изначально?

Геометрия Колледж Системы уравнений геометрия 12 класс задачи на логику пираты и монеты математические задачи решение задач алгебраические уравнения количество монет начальное количество монет задача на систему уравнений пираты задача логическая задача математическая логика Новый

Для решения этой задачи давайте обозначим количество монет у первого пирата в начале как x, а у второго пирата как y.

Каждый день пираты выполняют одно и то же действие: высыпают на стол половину своих монет, а затем забирают себе половину от общего количества монет на столе. Давайте разберем, как это происходит.

После первого дня:

• Первый пират высыпает на стол x/2 монет.
• Второй пират высыпает на стол y/2 монет.
• Общее количество монет на столе: x/2 + y/2.
• Каждый из пиратов забирает себе половину от общего количества: (x/2 + y/2) / 2 = (x + y) / 4.

Таким образом, после первого дня количество монет у каждого пирата будет следующим:

• У первого пирата: x/2 + (x + y)/4.
• У второго пирата: y/2 + (x + y)/4.

Теперь упростим эти выражения:

• У первого пирата: (2x + x + y) / 4 = (3x + y) / 4.
• У второго пирата: (2y + x + y) / 4 = (x + 3y) / 4.

После первого дня у первого пирата стало (3x + y) / 4, а у второго (x + 3y) / 4.

Теперь повторяем процесс для второго дня:

• Первый пират высыпает на стол ((3x + y) / 4) / 2 монет.
• Второй пират высыпает на стол ((x + 3y) / 4) / 2 монет.
• Общее количество на столе: ((3x + y) / 8) + ((x + 3y) / 8) = (3x + y + x + 3y) / 8 = (4x + 4y) / 8 = (x + y) / 2.
• Каждый забирает себе половину: ((x + y) / 2) / 2 = (x + y) / 4.

После второго дня:

• У первого пирата: ((3x + y) / 4) / 2 + (x + y) / 4 = (3x + y) / 8 + (x + y) / 4 = (3x + y + 2x + 2y) / 8 = (5x + 3y) / 8.
• У второго пирата: ((x + 3y) / 4) / 2 + (x + y) / 4 = (x + 3y) / 8 + (x + y) / 4 = (x + 3y + 2x + 2y) / 8 = (3x + 5y) / 8.

После второго дня у первого пирата стало (5x + 3y) / 8, а у второго (3x + 5y) / 8.

Теперь повторяем процесс для третьего дня:

• Первый пират высыпает на стол ((5x + 3y) / 8) / 2 монет.
• Второй пират высыпает на стол ((3x + 5y) / 8) / 2 монет.
• Общее количество на столе: ((5x + 3y) / 16) + ((3x + 5y) / 16) = (5x + 3y + 3x + 5y) / 16 = (8x + 8y) / 16 = (x + y) / 2.
• Каждый забирает себе половину: ((x + y) / 2) / 2 = (x + y) / 4.

После третьего дня:

• У первого пирата: ((5x + 3y) / 8) / 2 + (x + y) / 4 = (5x + 3y) / 16 + (x + y) / 4 = (5x + 3y + 4x + 4y) / 16 = (9x + 7y) / 16.
• У второго пирата: ((3x + 5y) / 8) / 2 + (x + y) / 4 = (3x + 5y) / 16 + (x + y) / 4 = (3x + 5y + 4x + 4y) / 16 = (7x + 9y) / 16.

По условию задачи, после третьего дня у первого пирата 19 монет, а у второго 21. Запишем это в виде уравнений:

• (9x + 7y) / 16 = 19
• (7x + 9y) / 16 = 21

Умножим оба уравнения на 16, чтобы избавиться от дробей:

• 9x + 7y = 304
• 7x + 9y = 336

Теперь у нас есть система уравнений. Решим её. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 9:

• 63x + 49y = 2128
• 63x + 81y = 3024

Теперь вычтем первое уравнение из второго:

32y = 896

Отсюда находим y = 28.

Теперь подставим значение y в одно из уравнений, например, в первое:

9x + 7(28) = 304

Получаем:

9x + 196 = 304

Отсюда 9x = 108, и x = 12.

Таким образом, изначально у первого пирата было 12 монет, а у второго 28 монет.