Как можно найти объём цилиндра, который вписан в правильную четырёхугольную призму, если площадь основания призмы равна 100 см², а площадь её полной поверхности - 400 см²?

Геометрия Колледж Объём цилиндра и его связь с призмой объём цилиндра правильная четырехугольная призма площадь основания призмы площадь полной поверхности геометрия 12 класс Новый

Для нахождения объёма цилиндра, вписанного в правильную четырёхугольную призму, нам нужно сначала определить размеры призмы, а затем использовать их для расчёта объёма цилиндра.

Шаг 1: Определим размеры призмы.

• Площадь основания призмы равна 100 см². Поскольку призма правильная четырёхугольная, её основание является квадратом. Обозначим сторону квадрата как a. Тогда:
• a² = 100 см², следовательно, a = √100 = 10 см.

Шаг 2: Найдём высоту призмы.

• Площадь полной поверхности призмы равна 400 см². Полная поверхность правильной четырёхугольной призмы состоит из двух квадратных оснований и четырёх прямоугольных боковых граней.
• Площадь боковых граней можно выразить как 4 * (a * h), где h – высота призмы. Таким образом, полная поверхность S будет равна:
• S = 2 * (a²) + 4 * (a * h).
• Подставим известные значения:
• 400 = 2 * (100) + 4 * (10 * h).
• 400 = 200 + 40h.
• Решим уравнение для h:
• 40h = 400 - 200 = 200, следовательно, h = 200 / 40 = 5 см.

Шаг 3: Найдём объём цилиндра.

• Цилиндр, вписанный в призму, будет иметь радиус, равный половине стороны основания квадрата, то есть r = a / 2 = 10 / 2 = 5 см.
• Высота цилиндра совпадает с высотой призмы, то есть h = 5 см.
• Объём цилиндра V можно найти по формуле:
• V = π * r² * h.
• Подставим известные значения:
• V = π * (5)² * 5 = π * 25 * 5 = 125π см³.

Ответ: Объём цилиндра, вписанного в правильную четырёхугольную призму, равен 125π см³, что примерно равно 392.7 см³.