Как можно найти уравнение общей касательной для эллипса 3x²+4y²=12 и параболы y²=4x?

Геометрия Колледж Касательные к кривым Уравнение касательной эллипс парабола геометрия 3x²+4y²=12 y²=4x нахождение касательной общая касательная Новый

Для нахождения уравнения общей касательной к эллипсу и параболе, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Приведение уравнений к стандартному виду

• Эллипс: уравнение 3x² + 4y² = 12 можно привести к стандартному виду, разделив на 12. Получаем: x²/4 + y²/3 = 1.
• Парабола: уравнение y² = 4x уже находится в стандартном виде.

Шаг 2: Определение уравнения касательной к эллипсу

Общее уравнение касательной к эллипсу имеет вид:

3x₀x + 4y₀y = 12,

где (x₀, y₀) - точка касания на эллипсе, удовлетворяющая уравнению эллипса.

Шаг 3: Определение уравнения касательной к параболе

Общее уравнение касательной к параболе имеет вид:

y = mx + m²/4,

где m - угловой коэффициент касательной.

Шаг 4: Найдем точки касания

Мы можем выразить y из уравнения касательной к параболе и подставить его в уравнение эллипса. Таким образом, мы сможем найти точки касания.

Шаг 5: Подстановка и решение

• Подставляем y = mx + m²/4 в уравнение эллипса:
• 3x² + 4(mx + m²/4)² = 12.

Теперь решаем это уравнение относительно x.

Шаг 6: Условия касания

Для того чтобы касательная действительно касалась обеих кривых, полученное уравнение должно иметь единственное решение. Это условие можно проверить через дискриминант.

Шаг 7: Нахождение углового коэффициента

Решив уравнение, мы получим значение углового коэффициента m. После этого мы можем подставить его в уравнение касательной к параболе, чтобы получить уравнение общей касательной.

Шаг 8: Проверка

Не забудьте проверить, что найденная касательная действительно касается как эллипса, так и параболы.

Таким образом, мы можем найти уравнение общей касательной для эллипса и параболы, следуя этим шагам.