Как можно определить уравнение плоскости P1, проходящей через точку A и прямую A1B1, если известны координаты точек A(0;3;0), B(0;1;0) и A1(-1;4;2)?

Геометрия Колледж Уравнение плоскости в пространстве уравнение плоскости точки A и B координаты A1 геометрия 12 класс определение плоскости прямая A1B1 Новый

Чтобы определить уравнение плоскости P1, проходящей через точку A и прямую A1B1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определим вектор, направляющий прямую A1B1.

   Для этого нам понадобятся координаты точек A1 и B1. Сначала найдем координаты точки B1. Мы знаем, что точка B имеет координаты (0; 1; 0), а точка A1 имеет координаты (-1; 4; 2). Для нахождения вектора A1B1, нам нужно вычесть координаты A1 из координат B1.

   Таким образом, вектор A1B1 будет равен:

   • AB1 = B1 - A1 = (0 - (-1), 1 - 4, 0 - 2) = (1, -3, -2).
2. Определим вектор, соединяющий точку A и точку A1.

   Теперь нам нужно найти вектор, соединяющий точку A с точкой A1. Для этого вычтем координаты A из координат A1:

   • AA1 = A1 - A = (-1 - 0, 4 - 3, 2 - 0) = (-1, 1, 2).
3. Найдем векторное произведение векторов AA1 и A1B1.

   Векторное произведение двух векторов дает вектор, перпендикулярный обоим. Мы будем использовать векторы AA1 и A1B1:

   • AA1 = (-1, 1, 2)
   • A1B1 = (1, -3, -2)

   Вычисляем векторное произведение:

   • n = AA1 x A1B1 = (1* -2 - 2*(-3), 2*1 - (-1)*(-2), -1*(-3) - 1*1)
   • n = (-2 + 6, 2 - 2, 3 - 1) = (4, 0, 2).
4. Запишем уравнение плоскости.

   Уравнение плоскости в общем виде записывается как:

   A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,

   где (x0, y0, z0) - координаты точки, через которую проходит плоскость, а (A, B, C) - координаты нормального вектора.

   В нашем случае:

   • Нормальный вектор n = (4, 0, 2)
   • Точка A(0, 3, 0)

   Подставляем значения в уравнение:

   • 4(x - 0) + 0(y - 3) + 2(z - 0) = 0.

   Упрощаем уравнение:

   • 4x + 2z = 0.

Таким образом, уравнение плоскости P1, проходящей через точку A и прямую A1B1, будет:

4x + 2z = 0.