Какова площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=0; х=-1; х=1; у=-х в квадрате? Также, как найти объем заштрихованной фигуры при вращении её вокруг оси ОХ?

Необходимо предоставить полное решение с графиком.

Геометрия Колледж Криволинейные фигуры и интегралы площадь криволинейной трапеции объем фигуры вращения решение задачи по геометрии график криволинейной трапеции интегралы в геометрии ось Ох площадь фигуры вычисление объёма геометрические фигуры математические задачи Новый

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=0, х=-1, х=1 и у=-х², мы будем использовать интегрирование. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Мы имеем следующие границы:

• Линия у=0 (ось X)
• Линия х=-1 (левая граница)
• Линия х=1 (правая граница)
• Линия у=-х² (парабола)

Шаг 2: Определение площади под кривой

Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив интеграл от функции у=-х² от -1 до 1:

1. Записываем интеграл:
2. Площадь S = ∫ от -1 до 1 (-x²) dx

Шаг 3: Вычисление интеграла

Теперь найдем интеграл:

• ∫ (-x²) dx = -1/3 * x³
• Теперь подставим пределы интегрирования:

1. =-1/3 * (1)³ - (-1/3 * (-1)³)
2. = -1/3 - (1/3) = -1/3 + 1/3 = 0

Однако, поскольку мы ищем площадь, мы берем модуль:

S = 2 * (1/3) = 2/3.

Шаг 4: Объем вращения вокруг оси OX

Теперь найдем объем заштрихованной фигуры при вращении её вокруг оси OX. Для этого мы будем использовать метод дисков:

1. Формула для объема V: V = π * ∫ от -1 до 1 (f(x))² dx, где f(x) = -x².
2. Записываем интеграл:
3. V = π * ∫ от -1 до 1 (-x²)² dx = π * ∫ от -1 до 1 (x⁴) dx.

Шаг 5: Вычисление объема

Теперь найдем интеграл:

• ∫ (x⁴) dx = 1/5 * x⁵.
• Подставим пределы интегрирования:

1. V = π * (1/5 * (1)⁵ - 1/5 * (-1)⁵)
2. V = π * (1/5 - (-1/5)) = π * (1/5 + 1/5) = π * (2/5) = 2π/5.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна 2/3, а объем заштрихованной фигуры при вращении вокруг оси OX равен 2π/5.

График данной функции можно построить, но так как я не могу предоставить графические изображения, я рекомендую использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, чтобы увидеть, как выглядят заданные линии и фигуры.