Какова площадь области, заключенной между графиком функции f(x) = 3x^2 - 3x + 3 и прямыми y = 0, x = -2 и x = 1?

Геометрия Колледж Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми площадь области график функции f(x) = 3x^2 - 3x + 3 прямые y = 0 x = -2 x = 1 геометрия интегралы вычисление площади области между графиками Новый

Чтобы найти площадь области, заключенной между графиком функции f(x) = 3x² - 3x + 3 и прямыми y = 0, x = -2 и x = 1, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (y = 0).

Для этого мы приравняем функцию к нулю:

3x² - 3x + 3 = 0.

Решим это уравнение. Поскольку дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 3 * 3 = 9 - 36 = -27, то уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что график функции не пересекает ось абсцисс и всегда находится выше этой оси.

2. Определить границы интегрирования.

Границы интегрирования будут x = -2 и x = 1, так как это указанные вертикальные линии.

3. Вычислить площадь области под графиком функции между заданными границами.

Площадь можно найти, вычислив определенный интеграл от функции f(x) на интервале от -2 до 1:

Площадь = ∫ от -2 до 1 (3x² - 3x + 3) dx.

4. Вычислить интеграл.

Сначала найдем первообразную для функции f(x):

F(x) = x³ - (3/2)x² + 3x.

5. Подставить границы интегрирования.

Теперь вычислим определенный интеграл:

F(1) = 1³ - (3/2)*1² + 3*1 = 1 - 1.5 + 3 = 2.5.

F(-2) = (-2)³ - (3/2)*(-2)² + 3*(-2) = -8 - 6 - 6 = -20.

6. Вычислить площадь.

Теперь подставим результаты в формулу для площади:

Площадь = F(1) - F(-2) = 2.5 - (-20) = 2.5 + 20 = 22.5.

Ответ: Площадь области, заключенной между графиком функции и заданными прямыми, равна 22.5.