Какова площадь полной поверхности цилиндра, если параллельно оси цилиндра с радиусом основания 4 проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу 60 градусов, и диагональ полученного сечения образует с плоскостью основания цилиндра угол 45 градусов?

Геометрия Колледж Площадь поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндра радиус основания 4 плоскость отсечения дуга 60 градусов угол 45 градусов сечение цилиндра Новый

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра в данной задаче, нам сначала нужно понять, что представляет собой цилиндр и как его параметры связаны с описанным сечением.

Шаг 1: Определение параметров цилиндра.

• Радиус основания цилиндра (r) равен 4.
• Высота цилиндра (h) пока неизвестна, но мы можем найти её из условия задачи.

Шаг 2: Найдем высоту цилиндра.

Согласно условию, плоскость отсекла от окружности основания дугу 60 градусов. Это значит, что образованный срез представляет собой треугольник, основание которого соответствует длине дуги, а высота - это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на основание.

Дуга длиной 60 градусов на окружности радиусом 4 рассчитывается по формуле:

Длина дуги = r * угол в радианах = 4 * (60° * π / 180°) = 4 * (π / 3) = (4π / 3).

Теперь, если мы рассмотрим треугольник, образованный сечением, то по условию диагональ образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Это значит, что высота (h) и длина дуги образуют прямоугольный треугольник с углом 45 градусов.

Из геометрии известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 45 градусов катеты равны. Следовательно, высота (h) равна длине дуги, деленной на корень из двух:

h = (4π / 3) / √2.

Шаг 3: Площадь полной поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:

Площадь = 2 * π * r * h + 2 * π * r², где:

• 2 * π * r * h - площадь боковой поверхности цилиндра,
• 2 * π * r² - площадь двух оснований цилиндра.

Теперь подставим значения:

Площадь боковой поверхности = 2 * π * 4 * ((4π / 3) / √2) = (32π² / 3√2).

Площадь оснований = 2 * π * 4² = 32π.

Теперь сложим обе части:

Площадь полной поверхности = (32π² / 3√2) + 32π.

Шаг 4: Итог.

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра будет равна:

(32π² / 3√2) + 32π.

Это и есть ответ на ваш вопрос. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!