Какова площадь сечения конуса, если радиус его основания равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°, в то время как высота конуса образует угол 30° с плоскостью сечения?

Геометрия Колледж Сечения конуса площадь сечения конуса радиус основания 6 см угол 45 градусов высота конуса угол 30 градусов Новый

Чтобы найти площадь сечения конуса, нам нужно рассмотреть несколько шагов и использовать известные геометрические свойства.

Шаг 1: Понимание геометрии конуса

Конус имеет основание в форме круга, радиус которого равен 6 см. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45°, а высота конуса образует угол 30° с плоскостью сечения. Это означает, что сечение будет представлять собой треугольник.

Шаг 2: Определение высоты конуса

Для начала мы можем найти высоту конуса. Обозначим радиус основания как R = 6 см. Образующая (l) может быть найдена с использованием тригонометрии:

• Так как образующая наклонена под углом 45°, то:
• l = R / sin(45°) = 6 / (sqrt(2)/2) = 6 * sqrt(2).

Шаг 3: Определение высоты сечения

Теперь, чтобы найти высоту сечения, мы можем использовать угол между высотой конуса и плоскостью сечения:

• Обозначим высоту конуса как H.
• Так как угол между высотой и плоскостью сечения равен 30°, высота сечения будет равна:
• h = H * cos(30°).

Шаг 4: Площадь сечения

Сечение конуса будет треугольником, основание которого равно диаметру основания конуса (2R) и высота равна h, которую мы нашли ранее:

• Площадь треугольника равна:
• Площадь = (1/2) * основание * высота = (1/2) * (2 * R) * h.

Шаг 5: Подставляем значения

Теперь подставим все известные значения:

• Площадь = (1/2) * (2 * 6) * (H * cos(30°)).
• Мы знаем, что H = 6 * sqrt(2) (из предыдущих расчетов).
• cos(30°) = sqrt(3)/2.

Шаг 6: Финальные вычисления

Теперь подставим все значения в формулу:

• Площадь = (1/2) * (12) * (6 * sqrt(2) * (sqrt(3)/2)).
• Площадь = 6 * (6 * sqrt(2) * (sqrt(3)/2)) = 18 * sqrt(6).

Итак, площадь сечения конуса равна 18 * sqrt(6) см².