Какова высота вписанного равностороннего цилиндра, если его нижнее основание находится в плоскости основания конуса, при условии, что образующая конуса равна L и наклонена к плоскости основания под углом а?

Геометрия Колледж Геометрия тел вращения высота вписанного цилиндра равносторонний цилиндр основание конуса образующая конуса угол наклона плоскость основания геометрические задачи свойства конуса геометрия 12 класс Новый

Для того чтобы найти высоту вписанного равностороннего цилиндра в конусе, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Понимание задачи

У нас есть конус с образующей L, которая наклонена к плоскости основания под углом α. Мы хотим найти высоту цилиндра, который вписан в этот конус. Нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса, а верхнее основание цилиндра касается боковой поверхности конуса.

Шаг 2: Геометрические соотношения

Когда мы говорим о конусе, его высота (h) и радиус основания (R) связаны с образующей (L) через тригонометрические функции. Мы можем использовать угол α для нахождения высоты конуса:

• h = L * cos(α)
• R = L * sin(α)

Шаг 3: Высота цилиндра

Теперь, чтобы найти высоту вписанного цилиндра, мы можем использовать аналогичные треугольники. Внутри конуса, когда мы смотрим на сечение через ось, мы можем видеть, что образуется треугольник, где высота цилиндра (h_c) и радиус основания цилиндра (r_c) также связаны с высотой конуса и радиусом его основания.

Для равностороннего цилиндра, его радиус r_c равен R, и высота h_c будет равна h, но с учетом того, что цилиндр находится внутри конуса. Мы можем записать:

• h_c = h - (h - h_c) = h

Шаг 4: Подстановка значений

Теперь подставим выражения для h и R:

• h_c = L * cos(α) - (L * cos(α) - h_c)

Таким образом, высота цилиндра будет равна:

• h_c = L * cos(α) / 2

Шаг 5: Ответ

Таким образом, высота вписанного равностороннего цилиндра в конус, при условии, что его нижнее основание находится в плоскости основания конуса, равна:

• h_c = L * cos(α) / 2

Это и есть искомая высота цилиндра.