Образующая усеченного конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Радиус меньшего основания составляет 2 см. Как можно вычислить площадь полной поверхности этого конуса?

Геометрия Колледж Усеченный конус усеченный конус площадь полной поверхности радиус основания образующая конуса угол наклона геометрия вычисление площади формулы для усеченного конуса Новый

Чтобы вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса, нам нужно учитывать как боковую площадь, так и площади оснований. Давайте разберем шаги решения.

1. Определим необходимые параметры:
   • Образующая усеченного конуса (l) = 4 см.
   • Угол наклона образующей к плоскости основания (α) = 60°.
   • Радиус меньшего основания (r1) = 2 см.
2. Найдем радиус большего основания (r2):

   Для этого воспользуемся тригонометрией. Мы знаем, что образующая (l) и радиус большего основания (r2) образуют прямоугольный треугольник с высотой (h) конуса.

   Сначала найдем высоту (h) конуса:

   • h = l * sin(α) = 4 * sin(60°) = 4 * (√3/2) = 2√3 см.

   Теперь можно найти радиус большего основания (r2):

   • r2 = r1 + h * tan(α) = 2 + (2√3) * (√3) = 2 + 6 = 8 см.
3. Вычислим боковую площадь (Sб):

   Формула для боковой площади усеченного конуса:

   Sб = π * (r1 + r2) * l.

   Подставим значения:

   • Sб = π * (2 + 8) * 4 = π * 10 * 4 = 40π см².
4. Вычислим площади оснований:
   • Площадь меньшего основания (S1) = π * r1² = π * 2² = 4π см².
   • Площадь большего основания (S2) = π * r2² = π * 8² = 64π см².
5. Сложим все площади:

   Теперь мы можем найти полную площадь поверхности (S):

   • S = Sб + S1 + S2 = 40π + 4π + 64π = 108π см².

Таким образом, площадь полной поверхности усеченного конуса составляет 108π см².