2025-09-15 16:33:57
Пусть центральные углы ∠AOB и ∠BOC равны. Как можно доказать, что хорды AB и BC равны?
Геометрия Колледж Свойства окружности и углы центральные углы хорды доказательство геометрия равенство Углы треугольники свойства окружность AB BC
2025-09-15 16:34:12
Для доказательства того, что хорды AB и BC равны, когда центральные углы ∠AOB и ∠BOC равны, мы можем использовать некоторые свойства окружности и треугольников. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.
- Определим центральные углы: Пусть ∠AOB = ∠BOC = α. Это означает, что оба угла имеют одинаковую величину.
- Рассмотрим радиусы: Поскольку A, B и C лежат на окружности, то отрезки OA, OB и OC являются радиусами этой окружности и имеют одинаковую длину. Обозначим длину радиуса как R.
-
Сформируем треугольники:
Рассмотрим треугольники OAB и OBC. Оба треугольника имеют:
- Радиус OA = OB = R (по определению радиуса окружности).
- Центральные углы ∠AOB и ∠BOC равны, т.е. α.
- Используем свойства равнобедренного треугольника: Треугольники OAB и OBC являются равнобедренными, так как у них есть две стороны равной длины (OA = OB и OB = OC) и равные углы при вершине O.
-
Применяем теорему о равенстве сторон:
В равнобедренных треугольниках стороны, противолежащие равным углам, равны. В нашем случае это означает, что:
- AB = OC (в треугольнике OAB).
- BC = OA (в треугольнике OBC).
- Заключение: Поскольку AB и BC являются сторонами равнобедренных треугольников с равными углами, мы можем утверждать, что длины хорд AB и BC равны: AB = BC.
Таким образом, мы доказали, что если центральные углы ∠AOB и ∠BOC равны, то хорды AB и BC также равны.