Чтобы найти расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C, нам необходимо сначала определить, каковы у нас координаты вершин куба и уравнения плоскостей.

1. Определим координаты вершин куба.

• A(0, 0, 0)
• B(3√3, 0, 0)
• C(3√3, 3√3, 0)
• D(0, 3√3, 0)
• A1(0, 0, 3√3)
• B1(3√3, 0, 3√3)
• C1(3√3, 3√3, 3√3)
• D1(0, 3√3, 3√3)

2. Найдем уравнения плоскостей.

Плоскость A1BD проходит через точки A1, B и D. Мы можем найти векторное уравнение этой плоскости.

• Вектор AB = B - A1 = (3√3, 0, 0) - (0, 0, 3√3) = (3√3, 0, -3√3).
• Вектор AD = D - A1 = (0, 3√3, 0) - (0, 0, 3√3) = (0, 3√3, -3√3).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости A1BD, взяв векторное произведение векторов AB и AD:

• n1 = AB x AD = |i j k|
• |3√3 0 -3√3|
• |0 3√3 -3√3|

Решая это, мы получаем нормальный вектор n1 = (3√3 * -3√3 - 0 * -3√3, - (3√3 * -3√3 - 0 * 3√3), 3√3 * 3√3 - 0 * 0) = (-9, 9, 9√3).

Теперь уравнение плоскости A1BD можно записать в виде:

-9x + 9y + 9√3z = d, где d = -9 * 0 + 9 * 0 + 9√3 * 3√3 = 27.

Таким образом, уравнение плоскости A1BD: -x + y + √3z = 3.

Теперь найдем уравнение плоскости B1D1C. Она проходит через точки B1, D1 и C:

• Вектор B1D1 = D1 - B1 = (0, 3√3, 3√3) - (3√3, 0, 3√3) = (-3√3, 3√3, 0).
• Вектор B1C = C - B1 = (3√3, 3√3, 0) - (3√3, 0, 3√3) = (0, 3√3, -3√3).

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости B1D1C, взяв векторное произведение векторов B1D1 и B1C:

• n2 = B1D1 x B1C = |i j k|
• |-3√3 3√3 0|
• |0 3√3 -3√3|

Решая это, мы получаем нормальный вектор n2 = (9√3, 9√3, 9√3).

Уравнение плоскости B1D1C можно записать в виде:

9√3x + 9√3y + 9√3z = d, где d = 9√3 * 3√3 + 9√3 * 0 + 9√3 * 0 = 27.

Таким образом, уравнение плоскости B1D1C: √3x + √3y + z = 3.

3. Найдем расстояние между плоскостями.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями Ax + By + Cz = D1 и Ax + By + Cz = D2 можно найти по формуле:

Расстояние = |D2 - D1| / √(A^2 + B^2 + C^2).

В нашем случае:

• A = -1, B = 1, C = √3, D1 = 3 (для A1BD)
• A = 1, B = 1, C = 1, D2 = 3 (для B1D1C)

Расстояние = |3 - 3| / √((-1)^2 + (1)^2 + (√3)^2) = 0 / √(1 + 1 + 3) = 0.

Таким образом, расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C равно 0, что означает, что плоскости совпадают.