Составьте уравнения касательных к эллипсу x^2 + 4y^2 = 20, которые перпендикулярны прямой 2x - 2y - 13 = 0.

Геометрия Колледж Касательные к кривым второго порядка касательные к эллипсу уравнения касательных эллипс x^2 + 4y^2 = 20 перпендикулярные прямой геометрия 12 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти уравнения касательных к эллипсу x² + 4y² = 20, которые перпендикулярны прямой 2x - 2y - 13 = 0, мы можем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Привести уравнение прямой к каноническому виду.

Сначала преобразуем уравнение прямой 2x - 2y - 13 = 0. Мы можем выразить y через x:

1. 2x - 2y = 13
2. -2y = -2x + 13
3. y = x - 6.5

Теперь мы видим, что наклон этой прямой равен 1 (коэффициент при x).

Шаг 2: Найти наклон касательной.

Так как касательная должна быть перпендикулярна данной прямой, наклон касательной будет равен -1 (обратное значение наклона прямой с противоположным знаком).

Шаг 3: Записать уравнение касательной к эллипсу.

Общее уравнение касательной к эллипсу x² + 4y² = 20 в точке (x₀, y₀) имеет вид:

xx₀/20 + 4yy₀/20 = 1.

Теперь, используя наклон касательной (-1), мы можем записать уравнение касательной в виде:

y - y₀ = -1(x - x₀),

или

y = -x + (x₀ + y₀).

Шаг 4: Найти точки касания.

Теперь нам нужно найти точки (x₀, y₀), которые удовлетворяют как уравнению эллипса, так и уравнению касательной. Подставим y из уравнения касательной в уравнение эллипса:

1. Подставим y = -x + (x₀ + y₀) в эллипс:
2. x² + 4(-x + (x₀ + y₀))² = 20.

Раскроем скобки и упростим это уравнение.

Шаг 5: Решить полученное уравнение.

После подстановки и упрощения мы получим квадратное уравнение относительно x, которое можно решить, чтобы найти значения x₀. Затем, используя найденные x₀, мы можем найти соответствующие y₀.

Шаг 6: Записать уравнения касательных.

После нахождения точек касания (x₀, y₀) подставим их в уравнение касательной, чтобы получить уравнения касательных к эллипсу.

Таким образом, у вас будет два уравнения касательных, которые перпендикулярны данной прямой.