СРОЧНО

В прямоугольнике ABCD известно, что AD = a, DC = b, а O - точка пересечения диагоналей. Какова величина | вектор AB + вектор DO - вектор OB + вектор OC + вектор CD |?

Геометрия Колледж Векторы в геометрии геометрия прямоугольник ABCD векторы диагонали величина векторов задача по геометрии Новый

Для решения данной задачи начнем с определения векторов, упомянутых в условии. Напомним, что векторы в прямоугольнике можно представить через координаты его вершин.

Пусть координаты вершин прямоугольника ABCD будут следующими:

• A(0, 0)
• B(a, 0)
• C(a, b)
• D(0, b)

Теперь найдем координаты точки O, которая является точкой пересечения диагоналей AC и BD. Поскольку ABCD - прямоугольник, то O будет серединой диагоналей. Поэтому координаты точки O можно вычислить как:

• O = ((0 + a) / 2, (0 + b) / 2) = (a/2, b/2)

Теперь вычислим векторы:

• вектор AB = B - A = (a, 0) - (0, 0) = (a, 0)
• вектор DO = O - D = (a/2, b/2) - (0, b) = (a/2, b/2 - b) = (a/2, -b/2)
• вектор OB = B - O = (a, 0) - (a/2, b/2) = (a - a/2, 0 - b/2) = (a/2, -b/2)
• вектор OC = C - O = (a, b) - (a/2, b/2) = (a - a/2, b - b/2) = (a/2, b/2)
• вектор CD = D - C = (0, b) - (a, b) = (0 - a, b - b) = (-a, 0)

Теперь подставим векторы в выражение | вектор AB + вектор DO - вектор OB + вектор OC + вектор CD |:

Сначала найдем сумму векторов:

• вектор AB + вектор DO = (a, 0) + (a/2, -b/2) = (a + a/2, 0 - b/2) = (3a/2, -b/2)
• вектор AB + вектор DO - вектор OB = (3a/2, -b/2) - (a/2, -b/2) = (3a/2 - a/2, -b/2 + b/2) = (2a/2, 0) = (a, 0)
• вектор AB + вектор DO - вектор OB + вектор OC = (a, 0) + (a/2, b/2) = (a + a/2, 0 + b/2) = (3a/2, b/2)
• вектор AB + вектор DO - вектор OB + вектор OC + вектор CD = (3a/2, b/2) + (-a, 0) = (3a/2 - a, b/2) = (3a/2 - 2a/2, b/2) = (a/2, b/2)

Теперь найдем величину этого вектора:

Величина вектора (a/2, b/2) определяется по формуле:

• |(x, y)| = sqrt(x^2 + y^2)

В нашем случае:

• |(a/2, b/2)| = sqrt((a/2)^2 + (b/2)^2) = sqrt(a^2/4 + b^2/4) = sqrt((a^2 + b^2)/4) = (1/2)sqrt(a^2 + b^2)

Таким образом, величина | вектор AB + вектор DO - вектор OB + вектор OC + вектор CD | равна (1/2)sqrt(a^2 + b^2).