2025-09-01 16:23:34
У некоторого выпуклого многоугольника число диагоналей равно числу его сторон. Какова сумма углов этого многоугольника?
Геометрия Колледж Многоугольники выпуклый многоугольник число диагоналей число сторон сумма углов геометрия свойства многоугольников
2025-09-01 16:23:45
Для решения этой задачи начнем с определения основных понятий, связанных с многоугольниками и их диагоналями.
Обозначим количество сторон многоугольника как n. Мы знаем, что количество диагоналей D в многоугольнике можно вычислить по формуле:
D = n(n - 3) / 2В условии задачи сказано, что количество диагоналей равно количеству сторон, то есть:
D = nТеперь мы можем подставить выражение для D из первой формулы во вторую:
n(n - 3) / 2 = nУмножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
n(n - 3) = 2nТеперь упростим это уравнение:
n^2 - 3n - 2n = 0 n^2 - 5n = 0Факторизуем это уравнение:
n(n - 5) = 0Это уравнение имеет два решения:
- n = 0 (что не имеет смысла в контексте многоугольника)
- n = 5
Таким образом, мы выяснили, что многоугольник, у которого количество диагоналей равно количеству сторон, должен иметь 5 сторон. Это значит, что речь идет о правильном пятиугольнике.
Теперь давайте найдем сумму углов данного многоугольника. Сумма углов S в многоугольнике с n сторонами вычисляется по формуле:
S = (n - 2) * 180°Подставим значение n = 5:
S = (5 - 2) * 180° = 3 * 180° = 540°Таким образом, сумма углов выпуклого многоугольника, у которого число диагоналей равно числу его сторон, составляет 540°.