Для решения данной задачи начнем с определения основных параметров конуса и правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в него.

Шаг 1: Определение параметров конуса.

• Пусть радиус основания конуса равен R.
• По условию высота конуса H в два раза больше радиуса основания, то есть H = 2R.

Шаг 2: Площадь поверхности конуса.

Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности. Площадь основания S_осн = πR². Для нахождения боковой поверхности используем формулу S_бок = πRl, где l - образующая конуса. Образующую можно найти по теореме Пифагора:

• l = √(R² + H²) = √(R² + (2R)²) = √(R² + 4R²) = √(5R²) = R√5.

Теперь подставим l в формулу для боковой поверхности:

• S_бок = πR(R√5) = πR²√5.

Таким образом, полная площадь поверхности конуса:

• S_конуса = S_осн + S_бок = πR² + πR²√5 = πR²(1 + √5).

Шаг 3: Параметры правильной шестиугольной пирамиды.

Правильная шестиугольная пирамида имеет основание в виде правильного шестиугольника, вписанного в круг радиуса R. Площадь основания S_осн_пирамида = (3√3/2) * a², где a - длина стороны шестиугольника. Длина стороны шестиугольника, вписанного в круг радиуса R, равна a = R√3.

Подставим значение a в формулу для площади основания:

• S_осн_пирамида = (3√3/2) * (R√3)² = (3√3/2) * 3R² = (9√3/2)R².

Теперь найдем площадь боковых граней пирамиды. У шестиугольной пирамиды 6 треугольных граней, и высота каждой грани (h) равна H = 2R. Площадь одной грани S_грань = (1/2) * a * h = (1/2) * R√3 * 2R = R²√3.

Тогда площадь всех боковых граней:

• S_бок_пирамида = 6 * S_грань = 6 * R²√3 = 6R²√3.

Шаг 4: Общая площадь поверхности пирамиды.

Теперь найдем общую площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды:

• S_пирамида = S_осн_пирамида + S_бок_пирамида = (9√3/2)R² + 6R²√3.

Упрощаем:

• S_пирамида = (9√3/2)R² + (12√3/2)R² = (21√3/2)R².

Шаг 5: Нахождение отношения площадей.

Теперь найдем отношение площадей поверхности конуса и граней пирамиды:

• Отношение = S_конуса / S_пирамида = (πR²(1 + √5)) / ((21√3/2)R²).

Сокращаем R²:

• Отношение = (2π(1 + √5)) / (21√3).

Таким образом, отношение площадей поверхности конуса и граней пирамиды равно (2π(1 + √5)) / (21√3).