Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. **Найдем координаты вершин треугольника GUS.**

• Пусть точка G находится в начале координат: G(0, 0).
• Точка U будет находиться на оси X, поскольку UG = 4: U(4, 0).
• Теперь найдем координаты точки S. Мы знаем, что GS = 3, и UG = US = 4. Можно воспользоваться теоремой о длине стороны треугольника:

Сначала найдем координаты точки S. Для этого используем формулы для нахождения координат точки, зная длины сторон:

• Пусть S имеет координаты (x, y). Тогда:
• GS = 3: √(x^2 + y^2) = 3
• US = 4: √((x - 4)^2 + y^2) = 4

Решая эту систему уравнений, мы получаем:

• Из первого уравнения: x^2 + y^2 = 9.
• Из второго уравнения: (x - 4)^2 + y^2 = 16.

Раскроем второе уравнение:

• x^2 - 8x + 16 + y^2 = 16.
• Подставим x^2 + y^2 = 9: 9 - 8x + 16 = 16.
• Таким образом, получаем: -8x + 25 = 16, откуда x = 1.125.

Теперь подставим x = 1.125 в первое уравнение для нахождения y:

• 1.125^2 + y^2 = 9, откуда y^2 = 9 - 1.265625 = 7.734375, y ≈ 2.78.

Таким образом, координаты точек:

• G(0, 0), U(4, 0), S(1.125, 2.78).

2. **Найдем координаты точки S₁.**

Точка S₁ соответствует точке S, но находится на высоте 5, так как GG₁ = 5. Таким образом, S₁(1.125, 2.78, 5).

3. **Определим биссектрису SK.**

Биссектрису SK можно найти, зная углы треугольника GUS. Для этого нам нужно найти угол между сторонами. Мы знаем, что SM : MK = 2 : 1. Это значит, что точка M делит биссектрису SK в отношении 2:1.

4. **Найдем координаты точки M.**

Чтобы найти точку M, нужно вычислить координаты точки K, которая является пересечением биссектрисы с основанием. Мы можем использовать соотношение для нахождения координат:

• M = (2K + 1S₁) / 3.

5. **Определим периметр сечения.**

Сечение будет представлять собой треугольник, вершины которого будут находиться в точках U, S₁ и M. Периметр сечения равен сумме длин сторон:

• PU = длина от U до M,
• PS₁ = длина от S₁ до M,
• PU + PS₁ + PM.

6. **Подсчитаем периметр.**

Теперь, подставив все найденные координаты, мы можем вычислить длины сторон и, соответственно, периметр сечения призмы плоскостью π.

Таким образом, ответ на вопрос о периметре сечения призмы плоскостью π можно получить, выполнив все шаги, описанные выше, и подставив значения в формулы для длины отрезков.