В основании прямой призмы находится треугольник со сторонами 3 и 6 и углом 120° между ними. Диагональ большей боковой грани призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Какое значение имеет выражение 2√7, если V — объём призмы?

Геометрия Колледж Объём прямой призмы геометрия прямая призма объём призмы треугольник угол 120° диагональ боковая грань плоскость основания значение выражения 2√7 Новый

Для начала, давайте найдем площадь основания призмы, которое представляет собой треугольник со сторонами 3 и 6 и углом 120° между ними.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) a b * sin(угол)

где a и b - стороны треугольника, а угол - угол между этими сторонами.

В нашем случае:

• a = 3
• b = 6
• угол = 120°

Сначала найдем значение sin(120°). Поскольку sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2, подставим это значение в формулу:

Площадь = (1/2) * 3 * 6 * (√3/2) = 9√3/2.

Теперь мы знаем, что площадь основания призмы равна 9√3/2.

Следующий шаг - найти высоту призмы. Мы знаем, что диагональ большей боковой грани призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Обозначим высоту призмы как h.

Для нахождения объема призмы используем формулу:

Объем = Площадь основания * Высота

Объем будет равен:

V = (9√3/2) * h

Теперь нам нужно выразить h через V. Мы знаем, что диагональ боковой грани призмы образует прямоугольный треугольник с высотой и основанием, где угол между диагональю и основанием равен 60°.

В этом треугольнике:

• основной катет (высота h) = h
• гипотенуза (диагональ) = d

Используя тригонометрические соотношения, мы можем записать:

cos(60°) = h/d

Отсюда:

d = h / cos(60°) = h / (1/2) = 2h

Теперь, чтобы найти объем V, нужно выразить его через d:

Мы знаем, что диагональ боковой грани равна:

d = √(h² + (9√3/2)²)

Подставим d = 2h в это уравнение:

2h = √(h² + (9√3/2)²)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(2h)² = h² + (9√3/2)²

Это дает нам:

4h² = h² + 81 * 3 / 4

Упрощаем уравнение:

4h² - h² = 243/4

3h² = 243/4

h² = 81/4

h = 9/2

Теперь подставим значение h обратно в формулу для объема:

V = (9√3/2) * (9/2) = 81√3 / 4

Теперь, чтобы найти, какое значение имеет выражение 2√7, приравняем объем к этому выражению:

81√3 / 4 = 2√7

Таким образом, мы можем заключить, что объем V равен 2√7, если мы знаем, что это значение является результатом вычислений, а не конечным ответом на объем. На самом деле, объем V равен 81√3 / 4.