В правильном тетраэдре PABC с длиной ребра 2, точка O находится в центре основания ABC. Какое расстояние от точки O до плоскости грани PBC?

Геометрия Колледж Расстояние от точки до плоскости правильный тетраэдр длина ребра точка O центр основания расстояние до плоскости грань PBC Новый

Для нахождения расстояния от точки O до плоскости грани PBC в правильном тетраэдре PABC, сначала определим необходимые элементы и шаги решения.

Шаг 1: Определение координат вершин тетраэдра

Правильный тетраэдр имеет 4 вершины. Мы можем расположить его в трехмерной системе координат следующим образом:

• P(0, 0, h)
• A(-1, -1, 0)
• B(1, -1, 0)
• C(0, 1, 0)

Здесь h - высота тетраэдра. Для правильного тетраэдра с длиной ребра 2, высота h может быть найдена по формуле:

h = sqrt(2^2 - 1^2) = sqrt(3).

Таким образом, координаты вершин будут:

• P(0, 0, sqrt(3))
• A(-1, -1, 0)
• B(1, -1, 0)
• C(0, 1, 0)

Шаг 2: Определение координат точки O

Точка O находится в центре основания ABC. Чтобы найти ее координаты, вычислим среднее значение координат вершин A, B и C:

• O_x = (A_x + B_x + C_x) / 3 = (-1 + 1 + 0) / 3 = 0
• O_y = (A_y + B_y + C_y) / 3 = (-1 - 1 + 1) / 3 = -1/3
• O_z = (A_z + B_z + C_z) / 3 = (0 + 0 + 0) / 3 = 0

Таким образом, координаты точки O равны O(0, -1/3, 0).

Шаг 3: Определение уравнения плоскости PBC

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки P, B и C. Для этого сначала найдем векторы PB и PC:

• PB = B - P = (1, -1, 0) - (0, 0, sqrt(3)) = (1, -1, -sqrt(3))
• PC = C - P = (0, 1, 0) - (0, 0, sqrt(3)) = (0, 1, -sqrt(3))

Теперь найдем векторное произведение PB и PC, чтобы получить нормальный вектор плоскости:

• N = PB x PC = |i j k|
• |1 -1 -sqrt(3)|
• |0 1 -sqrt(3)|

Вычисляя детерминант, получаем:

• N_x = (-sqrt(3) * 1) - (-sqrt(3) * -1) = -sqrt(3) - sqrt(3) = -2sqrt(3)
• N_y = (-sqrt(3) * 0) - (1 * 1) = 0 - 1 = -1
• N_z = (1 * 1) - (-1 * 0) = 1 - 0 = 1

Таким образом, нормальный вектор N = (-2sqrt(3), -1, 1).

Уравнение плоскости имеет вид:

-2sqrt(3)(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - sqrt(3)) = 0.

Упрощая, получаем:

-2sqrt(3)x - y + z - sqrt(3) = 0.

Шаг 4: Нахождение расстояния от точки O до плоскости

Расстояние d от точки O(x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Подставим значения:

• A = -2sqrt(3), B = -1, C = 1, D = -sqrt(3)
• x0 = 0, y0 = -1/3, z0 = 0

Теперь подставим в формулу:

• d = |-2sqrt(3)(0) - 1(-1/3) + 1(0) - sqrt(3)| / sqrt((-2sqrt(3))^2 + (-1)^2 + (1)^2)
• d = |0 + 1/3 - sqrt(3)| / sqrt(12 + 1 + 1)
• d = |1/3 - sqrt(3)| / sqrt(14).

Шаг 5: Приведение к окончательному ответу

Таким образом, расстояние от точки O до плоскости грани PBC равно:

d = |1/3 - sqrt(3)| / sqrt(14).

Это и есть искомое расстояние.