В правильный треугольник со стороной 1 вписана окружность. Длина отрезка касательной к этой окружности, который имеет концы на сторонах треугольника, равна 2/5. Какова площадь треугольника, который отсекается этой касательной от исходного треугольника?

Геометрия Колледж Касательные и площади фигур правильный треугольник вписанная окружность длина касательной площадь треугольника геометрия 12 класс Новый

Для решения данной задачи давайте сначала разберемся с некоторыми свойствами правильного треугольника и окружности, вписанной в него.

Шаг 1: Параметры правильного треугольника

• Сторона правильного треугольника равна 1.
• Высота правильного треугольника может быть найдена по формуле: h = (sqrt(3)/2) * a, где a - длина стороны. В нашем случае h = (sqrt(3)/2) * 1 = sqrt(3)/2.
• Площадь правильного треугольника S = (a^2 * sqrt(3)) / 4. Для стороны 1, S = (1^2 * sqrt(3)) / 4 = sqrt(3)/4.

Шаг 2: Окружность, вписанная в треугольник

• Радиус вписанной окружности r = S / p, где p - полупериметр. Полупериметр p = 3/2.
• Таким образом, r = (sqrt(3)/4) / (3/2) = sqrt(3) / 6.

Шаг 3: Касательная к окружности

• Длина отрезка касательной, который имеет концы на сторонах треугольника, равна 2/5.
• Эта касательная будет делить наш треугольник на две части.

Шаг 4: Площадь отсеченного треугольника

• Площадь, отсеченная касательной, можно найти, используя пропорции.
• Площадь треугольника, который отсекается, пропорциональна длине касательной и высоте, проведенной из вершины треугольника к основанию, на котором лежит касательная.
• Высота правильного треугольника равна sqrt(3)/2, и касательная делит его на две части, поэтому мы можем использовать подобие треугольников.

Шаг 5: Применение пропорций

• Площадь отсеченного треугольника S1 можно выразить как S1 = (длина касательной / длина стороны) * площадь исходного треугольника.
• Подставляем: S1 = (2/5) * (sqrt(3)/4).
• Следовательно, S1 = (2 * sqrt(3)) / 20 = sqrt(3) / 10.

Ответ: Площадь треугольника, который отсекается касательной от исходного треугольника, равна sqrt(3) / 10.