В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, где AD=2√3, AB=4, и боковое ребро AA1=6, какой угол в градусах образуют диагонали D1B и D1A на грани AA1D1D?

Геометрия Колледж Углы и диагонали в пространственных фигурах прямоугольный параллелепипед угол диагоналей геометрия D1B D1A грани параллелепипеда задачи по геометрии Новый

Для решения задачи нам нужно сначала определить координаты всех вершин прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, а затем найти угол между диагоналями D1B и D1A на грани AA1D1D.

Шаг 1. Определим координаты вершин параллелепипеда.

• A(0, 0, 0)
• B(4, 0, 0)
• C(4, 2√3, 0)
• D(0, 2√3, 0)
• A1(0, 0, 6)
• B1(4, 0, 6)
• C1(4, 2√3, 6)
• D1(0, 2√3, 6)

Шаг 2. Найдем векторы диагоналей D1B и D1A.

• Вектор D1B: B - D1 = (4, 0, 6) - (0, 2√3, 6) = (4, -2√3, 0)
• Вектор D1A: A - D1 = (0, 0, 0) - (0, 2√3, 6) = (0, -2√3, -6)

Шаг 3. Найдем длины векторов.

• Длина вектора D1B: |D1B| = √(4^2 + (-2√3)^2 + 0^2) = √(16 + 12) = √28 = 2√7
• Длина вектора D1A: |D1A| = √(0^2 + (-2√3)^2 + (-6)^2) = √(12 + 36) = √48 = 4√3

Шаг 4. Найдем скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение D1B и D1A равно:

• D1B · D1A = (4, -2√3, 0) · (0, -2√3, -6) = 4*0 + (-2√3)(-2√3) + 0*(-6) = 0 + 12 + 0 = 12

Шаг 5. Найдем угол между векторами.

Используем формулу для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (D1B · D1A) / (|D1B| * |D1A|)

Подставляем значения:

• cos(θ) = 12 / (2√7 * 4√3) = 12 / (8√21) = 3 / 2√21

Шаг 6. Найдем угол θ.

Теперь нам нужно найти угол θ. Для этого воспользуемся арккосинусом:

θ = arccos(3 / 2√21)

Шаг 7. Переведем угол в градусы.

Для получения значения угла в градусах, воспользуемся калькулятором или таблицей значений. После вычислений мы получим:

θ ≈ 45°.

Ответ: Угол между диагоналями D1B и D1A на грани AA1D1D составляет приблизительно 45 градусов.