Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим некоторые ключевые моменты и векторы в равностороннем треугольнике ABC со стороной 1.

1. Определение координат вершин треугольника:

• Точка A(0, 0)
• Точка B(1, 0)
• Точка C(0.5, √3/2)

2. Нахождение медиан:

Медиана AA1 соединяет вершину A с серединой стороны BC. Середина BC обозначим как B1. Для нахождения координат B1:

• Координаты B1 = ((1 + 0.5) / 2, (0 + √3/2) / 2) = (0.75, √3/4)

Теперь вектор AA1 можно выразить как:

• AA1 = B1 - A = (0.75, √3/4) - (0, 0) = (0.75, √3/4)

Теперь найдем медиану BB1, которая соединяет вершину B с серединой стороны AC. Середина AC обозначим как C1. Для нахождения координат C1:

• Координаты C1 = ((0 + 0.5) / 2, (0 + √3/2) / 2) = (0.25, √3/4)

А теперь вектор BB1:

• BB1 = C1 - B = (0.25, √3/4) - (1, 0) = (-0.75, √3/4)

3. Вычисление скалярного произведения векторов AA1 и BB1:

Скалярное произведение векторов определяется как:

• AA1 • BB1 = (0.75) * (-0.75) + (√3/4) * (√3/4)
• AA1 • BB1 = -0.5625 + 3/16
• 3/16 = 0.1875, поэтому:
• AA1 • BB1 = -0.5625 + 0.1875 = -0.375

4. Нахождение угла между векторами:

Угол θ между векторами можно найти с использованием формулы:

• cos(θ) = (AA1 • BB1) / (|AA1| * |BB1|)

Сначала найдем длины векторов:

• |AA1| = √(0.75^2 + (√3/4)^2) = √(0.5625 + 0.1875) = √(0.75) = √(3/4) = √3 / 2
• |BB1| = √((-0.75)^2 + (√3/4)^2) = √(0.5625 + 0.1875) = √(0.75) = √(3/4) = √3 / 2

Теперь подставим в формулу:

• cos(θ) = -0.375 / ((√3 / 2) * (√3 / 2)) = -0.375 / (3/4) = -0.5

Следовательно, угол θ равен:

• θ = arccos(-0.5) = 120°

Итак, итоговые результаты:

• Скалярное произведение векторов AA1 и BB1 равно -0.375.
• Угол между векторами AA1 и BB1 составляет 120°.