В тетраэдре SABC все рёбра равны 8. На ребре AB выбрана точка K, делящая его пополам (АК=КВ). Какова площадь сечения этого тетраэдра, если плоскость проходит через точку K и перпендикулярна ребру SA? Полученный результат необходимо умножить на √2.

Геометрия Колледж Сечения тетраэдра тетраэдр SABC площадь сечения ребра равны 8 точка K плоскость перпендикулярна SA геометрия 12 класс Новый

Чтобы найти площадь сечения тетраэдра SABC, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их подробно.

Шаг 1: Определение координат вершин тетраэдра.

Предположим, что тетраэдр SABC расположен в трехмерном пространстве. Мы можем задать координаты его вершин следующим образом:

• S(0, 0, 0)
• A(8, 0, 0)
• B(4, 4√3, 0)
• C(4, 2√3, 4√2)

Эти координаты соответствуют равным рёбрам тетраэдра, длина которых равна 8.

Шаг 2: Нахождение координат точки K.

Точка K делит ребро AB пополам. Поэтому координаты точки K будут:

• K((A_x + B_x)/2, (A_y + B_y)/2, (A_z + B_z)/2) = ((8 + 4)/2, (0 + 4√3)/2, (0 + 0)/2) = (6, 2√3, 0).

Шаг 3: Определение уравнения плоскости.

Плоскость проходит через точку K и перпендикулярна ребру SA. Ребро SA можно представить как вектор S(0, 0, 0) к A(8, 0, 0), что дает вектор SA = (8, 0, 0).

Плоскость, перпендикулярная этому вектору, будет иметь нормальный вектор (8, 0, 0). Уравнение плоскости можно записать как:

8(x - 6) + 0(y - 2√3) + 0(z - 0) = 0,

что упрощается до:

x = 6.

Шаг 4: Определение точек пересечения плоскости с рёбрами тетраэдра.

Теперь нам нужно найти, где плоскость x = 6 пересекает рёбра тетраэдра. Рассмотрим каждое ребро:

• Ребро SB: S(0, 0, 0) к B(4, 4√3, 0).
• Ребро SC: S(0, 0, 0) к C(4, 2√3, 4√2).
• Ребро AC: A(8, 0, 0) к C(4, 2√3, 4√2).
• Ребро BC: B(4, 4√3, 0) к C(4, 2√3, 4√2).

Для нахождения пересечений, подставим x = 6 в уравнения рёбер:

• Ребро SB: x = 6 => y = 6√3/2, z = 0, точка P1(6, 6√3/2, 0).
• Ребро SC: x = 6 => y = 6√3/3, z = 6√2/3, точка P2(6, 6√3/3, 6√2/3).
• Ребро AC: x = 6 => y = 0, z = 0, точка P3(6, 0, 0).
• Ребро BC: x = 6 => y = 6√3/4, z = 6√2/4, точка P4(6, 6√3/4, 6√2/4).

Шаг 5: Нахождение площади треугольника P1P2P3.

Теперь, когда у нас есть три точки пересечения, мы можем найти площадь треугольника, образованного этими точками. Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 1/2 * |AB x AC|, где AB и AC - векторы, образованные точками P1, P2 и P3.

Шаг 6: Умножение на √2.

После нахождения площади треугольника, умножаем её на √2, как указано в условии задачи.

Таким образом, мы получаем окончательный ответ на задачу.