В треугольнике ABC известны стороны AB=5, BC=6, CA=7. Проведена касательная к окружности, вписанной в треугольник, которая параллельна стороне AC. Эта касательная отсекает треугольник BMN от треугольника ABC. Каково соотношение радиусов вписанных окружностей в треугольниках BMN и ABC?

Геометрия Колледж Вписанная окружность треугольника треугольник ABC стороны треугольника радиус вписанной окружности касательная к окружности соотношение радиусов треугольник BMN геометрия задачи по геометрии свойства треугольников окружность вписанная в треугольник Новый

Для решения задачи начнем с определения радиуса вписанной окружности в треугольник ABC. Мы знаем, что радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле:

r = S / p

где S - площадь треугольника, а p - полупериметр.

Сначала найдем полупериметр треугольника ABC:

• AB = 5
• BC = 6
• CA = 7

Полупериметр p будет равен:

p = (AB + BC + CA) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой Герона:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA))

Подставим значения:

• p - AB = 9 - 5 = 4
• p - BC = 9 - 6 = 3
• p - CA = 9 - 7 = 2

Теперь подставим эти значения в формулу для площади:

S = √(9 * 4 * 3 * 2) = √216 = 6√6

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности r для треугольника ABC:

r = S / p = (6√6) / 9 = (2√6) / 3

Теперь перейдем к треугольнику BMN. Касательная к вписанной окружности, проведенная параллельно стороне AC, делит треугольник ABC на два подобных треугольника: ABC и BMN. Поскольку BMN подобен ABC, то радиус вписанной окружности в треугольнике BMN будет пропорционален радиусу вписанной окружности в треугольнике ABC.

Обозначим r_BMN как радиус вписанной окружности в треугольнике BMN. Если k - коэффициент подобия, то:

r_BMN = k * r

Так как BMN подобен ABC и касательная параллельна стороне AC, то коэффициент подобия k равен отношению отрезков, которые касательная отсекает от стороны AB и BC. Поскольку касательная параллельна AC, то это отношение равно:

k = (BM / AB) = (BN / BC)

Таким образом, соотношение радиусов вписанных окружностей будет:

r_BMN / r = k

Итак, радиусы вписанных окружностей треугольников BMN и ABC находятся в соотношении, зависящем от коэффициента подобия k, который определяется длинами отрезков, отсекаемых касательной. Для нахождения конкретного значения k нам нужны дополнительные данные о длине отрезков BM и BN. Однако, если длины отрезков BM и BN известны, мы можем легко найти r_BMN и его соотношение с r.