В треугольнике ABC основание AB параллельно плоскости α, а стороны AC и BC пересекают плоскость α в точках P и Q. При этом отношение AP к PC составляет 3 к 2. Какова длина AB, если известно, что отрезок PQ равен 6?

Геометрия Колледж Треугольники и подобие геометрия треугольник ABC основание AB плоскость α точки P и Q отношение AP к PC длина AB отрезок PQ задача по геометрии параллельные линии Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что у нас есть треугольник ABC с основанием AB, которое параллельно плоскости α. Стороны AC и BC пересекают плоскость α в точках P и Q соответственно. Из условия задачи известно, что отношение отрезков AP и PC составляет 3 к 2, а длина отрезка PQ равна 6.

Давайте обозначим длины отрезков:

• AP = 3x
• PC = 2x

Теперь мы можем найти длину AC:

AC = AP + PC = 3x + 2x = 5x.

Так как PQ – это проекция отрезка AB на плоскость α, и отрезок PQ равен 6, мы можем использовать подобие треугольников. Треугольники APQ и ABC являются подобными, так как у них есть общий угол A и углы P и B, а также Q и C являются соответственными углами.

Из подобия треугольников имеем:

• AP / AB = PQ / AC

Подставим известные значения:

3x / AB = 6 / 5x.

Теперь выразим AB через x:

1. Перемножим крест-накрест: 3x * 5x = 6 * AB.
2. Получим: 15x^2 = 6AB.
3. Теперь выразим AB: AB = 15x^2 / 6 = 2.5x^2.

Теперь нам нужно найти значение x. Мы знаем, что PQ = 6, и это также можно выразить через x, используя отношение отрезков:

Так как PQ является частью отрезка AC, мы можем записать:

PQ = (AP / AC) * AB = (3x / 5x) * AB = (3/5) * AB.

Подставим значение PQ:

(3/5) * AB = 6.

Теперь выразим AB:

1. AB = 6 * (5/3) = 10.

Таким образом, длина отрезка AB равна 10.