Для решения данной задачи нам нужно рассмотреть свойства треугольника ABC и точку P, которая является центром описанной сферы. Поскольку P находится на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника, это значит, что P - это центр описанной окружности треугольника ABC.

Шаг 1: Найдем длину стороны AB.

Мы знаем, что в треугольнике ABC стороны AC и BC равны 24 см, а угол C равен 120°. Для нахождения стороны AB воспользуемся теоремой косинусов:

• AB² = AC² + BC² - 2 * AC * BC * cos(C)
• AB² = 24² + 24² - 2 * 24 * 24 * cos(120°)

Поскольку cos(120°) = -1/2, подставим это значение:

• AB² = 576 + 576 + 2 * 24 * 24 * 1/2
• AB² = 576 + 576 + 576 = 1728
• AB = √1728 = 24√3 см.

Шаг 2: Найдем радиус описанной окружности.

Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле:

• R = (abc) / (4S),

где a, b, c - стороны треугольника, а S - площадь треугольника. Площадь S можно найти, используя формулу Герона:

• s = (a + b + c) / 2 = (24 + 24 + 24√3) / 2 = 12 + 12√3
• S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))

Подставим значения:

• S = √((12 + 12√3)(12 + 12√3 - 24)(12 + 12√3 - 24)(12 + 12√3 - 24√3))
• S = √((12 + 12√3)(-12 + 12√3)(-12 + 12√3)(12 - 12√3))

Вычисление площади может быть сложным, поэтому давайте воспользуемся другой формулой для площади треугольника с известными сторонами и углом:

• S = (1/2) * AC * BC * sin(C) = (1/2) * 24 * 24 * sin(120°)

Поскольку sin(120°) = √3/2, подставим:

• S = (1/2) * 24 * 24 * (√3/2) = 12 * 24√3 = 288√3 см².

Теперь можем найти радиус R:

• R = (24 * 24 * 24√3) / (4 * 288√3) = (13824√3) / (1152√3) = 12 см.

Шаг 3: Угол между прямой PA и плоскостью треугольника ABC.

Теперь, зная, что точка P находится на расстоянии 8√3 см от плоскости ABC и радиус описанной окружности равен 12 см, мы можем использовать тригонометрию для нахождения угла между PA и плоскостью ABC. Обозначим угол между PA и перпендикуляром к плоскости ABC как α.

• tan(α) = (высота от P до плоскости ABC) / (радиус описанной окружности) = (8√3) / 12.

Таким образом, угол α можно найти как:

• α = arctan((8√3) / 12) = arctan(2√3 / 3).

Это значение угла α и будет углом между прямой PA и плоскостью треугольника ABC.

Таким образом, ответ на вопрос: угол между прямой PA и плоскостью треугольника ABC равен arctan(2√3 / 3).