В задаче говорится, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 12, а угол между этой диагональю и образующей составляет 30°. Нужно определить:

1. высоту цилиндра;
2. радиус цилиндра;
3. площадь боковой поверхности.

Прошу предоставить подробный ответ с полными решениями и формулами.

Геометрия Колледж Цилиндры и их свойства геометрия цилиндр диагональ высота цилиндра радиус цилиндра площадь боковой поверхности угол осевое сечение решение задач формулы геометрии Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть цилиндр, и нам известны следующие данные:

• Диагональ осевого сечения цилиндра (d) = 12
• Угол между диагональю и образующей цилиндра (α) = 30°

1. **Определение высоты цилиндра (h)**

Для начала, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями. В осевом сечении цилиндра диагональ образует прямоугольный треугольник, где:

• h - высота цилиндра
• r - радиус основания цилиндра
• d - диагональ осевого сечения

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, мы можем записать:

d^2 = h^2 + r^2

Также, учитывая угол α, мы можем выразить высоту через диагональ:

h = d * sin(α)

Подставляем значения:

h = 12 * sin(30°)

Зная, что sin(30°) = 0.5, получаем:

h = 12 * 0.5 = 6

Таким образом, высота цилиндра составляет 6 единиц.

2. **Определение радиуса цилиндра (r)**

Теперь, используя найденное значение высоты, мы можем найти радиус. Подставляем h в формулу для диагонали:

d^2 = h^2 + r^2

Подставляем известные значения:

12^2 = 6^2 + r^2

144 = 36 + r^2

r^2 = 144 - 36 = 108

r = √108 = 6√3

Таким образом, радиус цилиндра составляет 6√3 единиц.

3. **Определение площади боковой поверхности (S)**

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

S = 2 π r * h

Подставляем известные значения:

S = 2 π (6√3) * 6

S = 72π√3

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет 72π√3 квадратных единиц.

В итоге мы получили:

• Высота цилиндра: 6 единиц
• Радиус цилиндра: 6√3 единиц
• Площадь боковой поверхности: 72π√3 квадратных единиц