2024-12-26 19:12:41
В задаче говорится, что диагональ осевого сечения цилиндра равна 12, а угол между этой диагональю и образующей составляет 30°. Нужно определить:
- высоту цилиндра;
- радиус цилиндра;
- площадь боковой поверхности.
Прошу предоставить подробный ответ с полными решениями и формулами.
Геометрия Колледж Цилиндры и их свойства геометрия цилиндр диагональ высота цилиндра радиус цилиндра площадь боковой поверхности угол осевое сечение решение задач формулы геометрии
2024-12-26 19:12:59
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Итак, у нас есть цилиндр, и нам известны следующие данные:
- Диагональ осевого сечения цилиндра (d) = 12
- Угол между диагональю и образующей цилиндра (α) = 30°
1. **Определение высоты цилиндра (h)**
Для начала, мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями. В осевом сечении цилиндра диагональ образует прямоугольный треугольник, где:
- h - высота цилиндра
- r - радиус основания цилиндра
- d - диагональ осевого сечения
Согласно свойствам прямоугольного треугольника, мы можем записать:
d^2 = h^2 + r^2Также, учитывая угол α, мы можем выразить высоту через диагональ:
h = d * sin(α)Подставляем значения:
h = 12 * sin(30°)Зная, что sin(30°) = 0.5, получаем:
h = 12 * 0.5 = 6Таким образом, высота цилиндра составляет 6 единиц.
2. **Определение радиуса цилиндра (r)**
Теперь, используя найденное значение высоты, мы можем найти радиус. Подставляем h в формулу для диагонали:
d^2 = h^2 + r^2Подставляем известные значения:
12^2 = 6^2 + r^2 144 = 36 + r^2 r^2 = 144 - 36 = 108 r = √108 = 6√3Таким образом, радиус цилиндра составляет 6√3 единиц.
3. **Определение площади боковой поверхности (S)**
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
S = 2 * π * r * hПодставляем известные значения:
S = 2 * π * (6√3) * 6 S = 72π√3Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет 72π√3 квадратных единиц.
В итоге мы получили:
- Высота цилиндра: 6 единиц
- Радиус цилиндра: 6√3 единиц
- Площадь боковой поверхности: 72π√3 квадратных единиц
