Задание 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали пересекаются в точке M. Определите:

1. симметричную точку для точки C относительно точки M (7 баллов);
2. симметричную прямую для прямой AA1 относительно плоскости BDD1 (7 баллов);
3. симметричную плоскость для плоскости AA1D1 относительно точки M (7 баллов).

Геометрия Колледж Симметрия в пространстве прямоугольный параллелепипед диагонали точка M симметричная точка симметричная прямая симметричная плоскость геометрия задачи по геометрии Новый

Давайте поэтапно разберем каждое из заданий.

1. Симметричная точка для точки C относительно точки M

Для начала, определим координаты точек параллелепипеда. Пусть:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, b, 0)
• D(0, b, 0)
• A1(0, 0, h)
• B1(a, 0, h)
• C1(a, b, h)
• D1(0, b, h)

Теперь найдем координаты точки M, которая является точкой пересечения диагоналей. Диагонали параллелепипеда соединяют противоположные вершины:

• AC1 и BD1
• AD1 и BC1

Координаты точки M можно найти как среднее арифметическое координат этих точек:

• M = ((0 + a + a + 0)/2, (0 + 0 + b + b)/2, (0 + h + h + 0)/2) = (a/2, b/2, h/2)

Теперь, чтобы найти симметричную точку C относительно точки M, воспользуемся формулой:

• C' = M + (M - C)

Подставляем координаты:

• C' = (a/2, b/2, h/2) + ((a/2, b/2, h/2) - (a, b, 0))
• C' = (a/2, b/2, h/2) + (-a/2, -b/2, h/2)
• C' = (0, 0, h)

Таким образом, симметричная точка для точки C относительно точки M - это точка C'(0, 0, h).

2. Симметричная прямая для прямой AA1 относительно плоскости BDD1

Прямая AA1 соединяет точки A(0, 0, 0) и A1(0, 0, h). Плоскость BDD1 проходит через точки B(a, 0, 0), D(0, b, 0) и D1(0, b, h).

Чтобы найти симметричную прямую, нам нужно определить, как изменятся координаты точек A и A1 относительно плоскости BDD1. Плоскость BDD1 имеет уравнение:

ax + by + cz = d, где a, b, c - нормальные векторы плоскости, а d - константа.

В данном случае, нормальный вектор будет (1, 0, 0) (плоскость параллельна оси X), поэтому симметричные точки будут иметь координаты:

• A' = (0, 0, h)
• A1' = (0, 0, 0)

Таким образом, симметричная прямая будет соединять точки A'(0, 0, h) и A1'(0, 0, 0).

3. Симметричная плоскость для плоскости AA1D1 относительно точки M

Плоскость AA1D1 проходит через точки A(0, 0, 0), A1(0, 0, h), D1(0, b, h). Чтобы найти симметричную плоскость относительно точки M, нам нужно знать, как изменяются координаты точек на плоскости.

Сначала найдем нормальный вектор плоскости AA1D1, который будет равен вектору, соединяющему A и D1:

• N = (0, b, h) - (0, 0, 0) = (0, b, h)

Теперь, чтобы получить симметричную плоскость, нам нужно провести ее через точку M и использовать нормальный вектор N. Уравнение симметричной плоскости будет иметь вид:

0*(x - a/2) + b*(y - b/2) + h*(z - h/2) = 0.

Таким образом, симметричная плоскость для плоскости AA1D1 относительно точки M будет проходить через точку M и иметь тот же нормальный вектор.

В итоге, мы получили симметричные точки, прямые и плоскости для заданного параллелепипеда. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!