Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось верное решение.

Задача. Дан описанный четырёхугольник ABCD. Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника ABC и центр вневписанной окружности треугольника CDA, касающейся стороны AC, лежат на одной прямой.

Решение. Пусть Ω — вписанная окружность четырёхугольника, ω — вписанная окружность треугольника ABC, I — её центр, ωd — вневписанная окружность треугольника CDA, касающаяся стороны AC, Id — её центр.

Линия центров двух окружностей пересекает общую внешнюю касательную в центре гомотетии, переводящей одну из окружностей в другую. Поэтому точка пересечения прямых IID и IId является центром гомотетии, переводящей омега в омега с индексом D. Значит, достаточно доказать, что центр этой гомотетии лежит ещё и на прямой IID; это и будет означать, что точка пересечения диагоналей лежит на прямой IID.

Для этого заметим, что точка D является центром гомотетии (отриц; полож), переводящей ω в ωd, а точка В есть центр гомотетии, переводящей ω в ωd. Следовательно, по теореме о трёх колпаках на прямую BD попадает в центр гомотетии, переводящей ω в ωd, что и требовалось доказать.

Геометрия Колледж Гомотетия и окружности геометрия описанный четырёхугольник центр вписанной окружности центр вневписанной окружности точка пересечения диагоналей гомотетия треугольник ABC треугольник CDA задача по геометрии доказательство в геометрии