Как можно определить все точки на параболе y = x², которые находятся на расстоянии l от заданной точки M₀(x₀; y₀)? Сколько возможных решений может быть у этой задачи в зависимости от значения l и координат точки M₀? Перечислите все возможные варианты и дайте обоснование вашему ответу.

Геометрия Университет Геометрия параболы парабола расстояние точки координаты решение геометрия M₀ x2 задачи варианты Новый

Для того чтобы определить все точки на параболе y = x², которые находятся на расстоянии l от заданной точки M₀(x₀; y₀), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости.

Формула для расстояния между двумя точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) выглядит следующим образом:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

В нашем случае, одной из точек будет M₀(x₀; y₀), а другой точкой будет произвольная точка на параболе, которая имеет координаты (x, y) = (x, x²). Мы можем подставить эти значения в формулу расстояния:

l = √((x - x₀)² + (x² - y₀)²)

Теперь, чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

l² = (x - x₀)² + (x² - y₀)²

Раскроем скобки:

1. (x - x₀)² = x² - 2x₀x + x₀²
2. (x² - y₀)² = x⁴ - 2y₀x² + y₀²

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

l² = x² - 2x₀x + x₀² + x⁴ - 2y₀x² + y₀²

Соберем все слагаемые:

0 = x⁴ + (1 - 2y₀)x² - 2x₀x + (x₀² + y₀² - l²)

Теперь мы имеем полином четвертой степени относительно x. Количество решений этого уравнения может варьироваться в зависимости от значений l, x₀ и y₀. Рассмотрим возможные случаи:

• Нет решений: Если расстояние l слишком малое или точка M₀ находится слишком далеко от параболы, уравнение не будет иметь действительных решений.
• Одно решение: Если точка M₀ находится на оси симметрии параболы (то есть x₀ = 0) и l равно расстоянию от этой точки до параболы, то будет одно решение.
• Два решения: Если l достаточно велико, чтобы пересекать параболу в двух точках, то у нас будет два решения.
• Четыре решения: В некоторых случаях, когда парабола и окружность (определяемая расстоянием l) пересекаются в четырех точках, возможно наличие четырех решений.

Таким образом, количество решений зависит от взаимного расположения точки M₀ и параболы, а также от значения l. В общем случае, мы можем ожидать от 0 до 4 решений в зависимости от этих параметров.