Как можно записать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной общим уравнением 4x+y+z+2=0 и 2x-y-3z-8=0? Направляющий вектор следует найти в виде векторного произведения L=[ n1 × n2 ]. При вычислении детерминанта [ n1 × n2 ] нужно разложить его по первой строке, не совершая элементарных преобразований, просто взять первую строчку и раскладывать по ней.

Геометрия Университет Уравнения прямой в пространстве канонические уравнения прямой параметрические уравнения прямой общее уравнение прямой векторное произведение направляющий вектор вычисление детерминанта разложение по строке геометрия 3D-пространство линейная алгебра Новый

Для того чтобы найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями с уравнениями 4x + y + z + 2 = 0 и 2x - y - 3z - 8 = 0, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение нормалей плоскостей

Сначала мы найдем нормали к этим плоскостям. Нормаль к плоскости Ax + By + Cz + D = 0 задается вектором (A, B, C).

• Для первой плоскости 4x + y + z + 2 = 0 нормаль n1 = (4, 1, 1).
• Для второй плоскости 2x - y - 3z - 8 = 0 нормаль n2 = (2, -1, -3).

Шаг 2: Нахождение направляющего вектора

Теперь мы найдем направляющий вектор прямой L, который является векторным произведением нормалей n1 и n2:

L = n1 × n2.

Шаг 3: Вычисление векторного произведения

Чтобы вычислить векторное произведение, мы используем определитель 3x3, который можно разложить по первой строке:

• Построим матрицу:
• | i j k |
• | 4 1 1 |
• | 2 -1 -3 |
• Теперь разложим по первой строке:
• L = i * | 1 1 | - j * | 4 1 | + k * | 4 1 |
• | -1 -3 | | 2 -3 | | 2 -1 |

Шаг 4: Вычисление определителей

Теперь вычислим каждый из определителей:

• Для i: | 1 1 | = (1 * -3) - (1 * -1) = -3 + 1 = -2.
• Для j: | 4 1 | = (4 * -3) - (1 * 2) = -12 - 2 = -14. Учитываем знак: -(-14) = 14.
• Для k: | 4 1 | = (4 * -1) - (1 * 2) = -4 - 2 = -6.

Шаг 5: Запись направляющего вектора

Теперь подставим полученные значения в векторное произведение:

L = (-2, 14, -6).

Шаг 6: Нахождение точки пересечения

Теперь нам нужно найти точку пересечения прямой, которая также лежит на обеих плоскостях. Мы можем решить систему уравнений:

• 4x + y + z + 2 = 0
• 2x - y - 3z - 8 = 0

Для упрощения мы можем выразить одну переменную через другие. Например, выразим y через x и z из первого уравнения:

y = -4x - z - 2.

Подставим это значение во второе уравнение:

1. 2x - (-4x - z - 2) - 3z - 8 = 0
2. 2x + 4x + z + 2 - 3z - 8 = 0
3. 6x - 2z - 6 = 0
4. 6x - 2z = 6
5. z = 3x - 3.

Теперь подставим z обратно в уравнение для y:

y = -4x - (3x - 3) - 2 = -4x - 3x + 3 - 2 = -7x + 1.

Таким образом, мы можем выразить z и y через x.

Шаг 7: Запись параметрических уравнений

Теперь, используя параметр t = x, мы можем записать параметры для y и z:

• x = t,
• y = -7t + 1,
• z = 3t - 3.

Шаг 8: Канонические и параметрические уравнения

Канонические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

• x = t,
• y = -7t + 1,
• z = 3t - 3.

Таким образом, мы нашли как канонические, так и параметрические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями.