Чтобы составить параметрическое уравнение ортогональной проекции прямой на гиперплоскость, сначала давайте разберемся с данными уравнениями.

Прямая задана уравнением:

• x₁ = x₂ = x₃ = x₄ = x

Это означает, что все координаты x₁, x₂, x₃ и x₄ равны некоторой переменной x. Мы можем представить эту прямую в виде вектора:

• (x, x, x, x)

Гиперплоскость задана уравнением:

• x₁ - x₂ + x₃ - x₄ = 1

Теперь, чтобы найти ортогональную проекцию прямой на гиперплоскость, нам нужно определить нормальный вектор гиперплоскости. Для уравнения гиперплоскости x₁ - x₂ + x₃ - x₄ = 1 нормальный вектор будет:

• (1, -1, 1, -1)

Теперь, чтобы найти проекцию точки на гиперплоскость, мы можем использовать следующую формулу:

• P' = P - (P · N) / (N · N) * N

где P - точка на прямой, P' - проекция этой точки на гиперплоскость, N - нормальный вектор гиперплоскости.

Подставим P = (x, x, x, x) и N = (1, -1, 1, -1):

• P · N = x * 1 + x * (-1) + x * 1 + x * (-1) = x - x + x - x = 0
• N · N = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Теперь подставим эти значения в формулу:

• P' = (x, x, x, x) - (0 / 4) * (1, -1, 1, -1) = (x, x, x, x)

Поскольку P · N = 0, это означает, что прямая уже лежит в гиперплоскости, и проекция любой точки на прямой будет самой точкой. Теперь нам нужно найти, когда эта прямая пересекает гиперплоскость.

Подставим (x, x, x, x) в уравнение гиперплоскости:

• x - x + x - x = 1

Это упрощается до:

• 0 = 1

Это уравнение не имеет решений, что означает, что прямая не пересекает гиперплоскость. Следовательно, ортогональная проекция прямой на гиперплоскость будет зависеть от того, как мы можем выразить x.

Теперь, чтобы составить параметрическое уравнение проекции, мы можем использовать параметр t, равный x. Таким образом, у нас получится следующее параметрическое уравнение:

• x₁ = t
• x₂ = t - 1
• x₃ = t
• x₄ = t - 1

Таким образом, параметрическое уравнение ортогональной проекции прямой на гиперплоскость можно записать как:

• (t, t - 1, t, t - 1)

Где t - параметр, который можно изменять для нахождения всех точек проекции на гиперплоскость.