Какое дифференциальное уравнение описывает колебательное движение материальной точки, если оно записано в виде .х+8х+25х=0, и каким образом можно определить угловую частоту затухающих колебаний?

Геометрия Университет Дифференциальные уравнения колебательных процессов геометрия угловая частота Дифференциальное уравнение колебательное движение материальная точка затухающие колебания Новый

Для начала давайте разберемся с данным дифференциальным уравнением, которое записано в виде:

х + 8х + 25х = 0

Это уравнение можно переписать в стандартной форме, выделив производные:

х'' + 8х' + 25х = 0

Здесь х'' обозначает вторую производную функции х по времени, а х' — первую производную. Это уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теперь, чтобы решить это уравнение, найдем характеристическое уравнение, которое получается из данного уравнения, заменяя х на e^(rt), где r — корень, который мы ищем:

r² + 8r + 25 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 8² - 4 * 1 * 25 = 64 - 100 = -36

Так как дискриминант отрицательный, это означает, что у нас будут комплексные корни. Находим корни с помощью формулы:

r = (-b ± √D) / 2a

Подставляем значения:

r = (-8 ± √(-36)) / 2 = (-8 ± 6i) / 2 = -4 ± 3i

Таким образом, корни имеют вид:

r₁ = -4 + 3i

r₂ = -4 - 3i

Теперь, зная корни, мы можем записать общее решение данного уравнения:

х(t) = e^(-4t)(C₁ cos(3t) + C₂ sin(3t))

где C₁ и C₂ — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Теперь давайте определим угловую частоту затухающих колебаний. Угловая частота обозначается как ω и в нашем случае равна модулю мнимой части корней:

ω = 3

Таким образом, угловая частота затухающих колебаний равна 3 радиан в секунду.

В итоге, мы рассмотрели дифференциальное уравнение, нашли его корни и определили угловую частоту затухающих колебаний. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!