Определение операции произведения множеств

Операция произведения множеств (конкатенация) означает, что мы берем все возможные комбинации элементов из первого множества с элементами из второго множества. Если у нас есть два множества X и Y, то произведение X · Y состоит из всех строк, которые можно получить, взяв строку из X и строку из Y и соединяя их вместе.

Шаги для построения автоматов:

1. Построение автомата для множества X:
   • Регулярное выражение 01* описывает строки, начинающиеся с "0", за которым следует одна или более "1".
   • Для построения детерминированного конечного автомата (ДКА) нам нужно создать состояния, которые будут принимать такие строки.
   • Состояния автомата:
     • Начальное состояние q0 (ожидание "0")
     • Состояние q1 (после прочтения "0", ожидаем "1")
     • Состояние q2 (после прочтения "1", ожидаем еще "1" или конец строки)
   • Переходы:
     • q0 --0--> q1
     • q1 --1--> q2
     • q2 --1--> q2
   • Конечное состояние: q2 (принимает строки "0", "01", "011", "0111" и т.д.)
2. Построение автомата для множества Y:
   • Регулярное выражение (10)* ∪ 0 описывает строки, которые могут быть либо "0", либо последовательности "10", например, "10", "1010", "101010" и т.д.
   • Состояния автомата:
     • Начальное состояние q0 (ожидание "0" или "1")
     • Состояние q1 (после прочтения "0", принимаем строку)
     • Состояние q2 (после прочтения "1", ожидаем "0")
     • Состояние q3 (после прочтения "0", возвращаемся к q2)
   • Переходы:
     • q0 --0--> q1 (принимаем "0")
     • q0 --1--> q2
     • q2 --0--> q3
     • q3 --1--> q2
   • Конечные состояния: q1 и q2 (принимает строки "0", "10", "1010", и т.д.)

Построение недетерминированного конечного автомата (НКА) для множества X · Y:

1. Мы берем все возможные строки из X и Y и соединяем их.
2. Состояния НКА будут включать состояния из обоих автоматов.
3. Начальное состояние будет начальным состоянием автомата X.
4. Когда мы достигаем конечного состояния автомата X, мы можем переходить к начальному состоянию автомата Y.
5. Переходы будут включать все переходы из автоматов X и Y, а также переходы между конечным состоянием X и начальным состоянием Y.

Таким образом, мы получаем НКА, который принимает все строки, образованные конкатенацией строк из X и Y.