Чтобы решить задачу, мы будем использовать формулу для вычисления вероятности успеха в испытаниях Бернулли. Формула для вероятности получения ровно k успехов в n испытаниях выглядит так:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

где:

• C(n, k) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
• p - вероятность успеха (в данном случае p = 1 - q = 1 - 1/4 = 3/4)
• q - вероятность неудачи (в данном случае q = 1/4)
• n - общее количество испытаний (в данном случае n = 6)
• k - количество успехов, которое мы хотим найти

Теперь давайте рассмотрим оба случая:

1. Вероятность того, что будет ровно 2 успеха:
• n = 6
• k = 2
• p = 3/4
• q = 1/4
• Сначала вычислим биномиальный коэффициент:
• C(6, 2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
• Теперь подставим значения в формулу:
• P(X = 2) = C(6, 2) * (3/4)^2 * (1/4)^(6-2)
• P(X = 2) = 15 * (3/4)^2 * (1/4)^4
• P(X = 2) = 15 * (9/16) * (1/256)
• P(X = 2) = 15 * (9/4096)
• P(X = 2) = 135/4096
2. Вероятность того, что будет ровно 5 успехов:
• n = 6
• k = 5
• p = 3/4
• q = 1/4
• Сначала вычислим биномиальный коэффициент:
• C(6, 5) = 6! / (5! * (6-5)!) = 6! / (5! * 1!) = 6
• Теперь подставим значения в формулу:
• P(X = 5) = C(6, 5) * (3/4)^5 * (1/4)^(6-5)
• P(X = 5) = 6 * (3/4)^5 * (1/4)^1
• P(X = 5) = 6 * (243/1024) * (1/4)
• P(X = 5) = 6 * (243/4096)
• P(X = 5) = 1458/4096

Таким образом, мы получили:

• Вероятность того, что будет ровно 2 успеха: 135/4096
• Вероятность того, что будет ровно 5 успехов: 1458/4096