Давайте разберем ваш вопрос по частям.

1. Как изменилось управление в Риме после изгнания царя?

После изгнания царя Тарквиния Гордый в 509 году до н.э. в Риме была установлена республика. Это означало, что власть больше не принадлежала одному человеку (царю), а делилась между несколькими должностными лицами. Основные изменения в управлении заключались в следующем:

• Вместо царя появились два консула, которые избирались на один год и имели равные полномочия.
• Консулы могли назначать диктатора в случае чрезвычайной ситуации, но срок его полномочий был ограничен шестью месяцами.
• Существовали различные органы власти, такие как Сенат и народные собрания, которые также принимали участие в управлении.

2. Сколько лет Римом правили цари?

Царская власть в Риме существовала с 753 года до н.э. (основание Рима) до 509 года до н.э. Это означает, что Римом правили цари в течение около 244 лет.

3. Как возникли выражения "гуси рим спасли", "горе побежденным", "Пиррова победа"?

• "Гуси рим спасли": Это выражение связано с историей, когда во время нападения галлов на Рим гуси, которые жили в храме Юноны, начали громко кричать и тем самым разбудили римлян, что позволило им защитить город.
• "Горе побежденным": Это выражение связано с тем, что после победы в войне, как правило, судьба побежденных была очень тяжелой. Римляне часто применяли жесткие меры к своим врагам, что и стало причиной этой фразы.
• "Пиррова победа": Это выражение произошло от имени царя Эпира Пирра, который выиграл битву против римлян, но понес такие большие потери, что сказал: "Еще одна такая победа — и я погибну". Это означает победу, которая была достигнута ценой слишком больших жертв.

4. Какова была территория римской республики в конце 6-го века до н.э. и какой она стала к концу 3-го века?

В конце 6-го века до н.э. территория Римской республики была довольно небольшой. Рим контролировал лишь небольшую область вокруг самого города Рима и несколько соседних племен.

К концу 3-го века до н.э. Рим стал одной из самых могущественных держав в Средиземноморье. Он завоевал большую часть Италии, а также начал расширять свои территории за пределы Апеннинского полуострова, включая победы в Пунических войнах, что значительно увеличило его влияние и территорию.

Таким образом, управление Римом изменилось с монархии на республиканскую форму правления, а территория Рима значительно расширилась за несколько веков.