Разберём каждое утверждение по‑шагам и выберем верные варианты.

• Дороги связывали Рим с провинциями. — Верно.

  Римляне строили сеть дорог, которые соединяли столицу с другими городами и провинциями империи. По этим дорогам шли армии, торговцы и посланцы.

• Римские дороги не отличались долговечностью. — Неверно.

  Напротив, римские дороги были очень прочными и долговечными. Их строили в несколько слоёв: камни, щебень, плитка — поэтому многие дороги служили веками.

• Покрытие дорог состояло преимущественно из деревянных настилов. — Неверно.

  Большинство римских дорог имело каменное покрытие. Деревянные настилы использовали лишь в болотистых местах или временно, но это было исключением, а не правилом.

• Одной из первых в Риме была проложена Фламиниева дорога. — Неверно.

  Фламиниева дорога (Via Flaminia) важна, но появилась позже. Одной из первых и крупнейших была Аппиева дорога (Via Appia), проложенная раньше.

• Название первой крупной римской дороги связано с именем цензора Аппия Клавдия. — Верно.

  Аппиева дорога (Via Appia) названа по имени цензора Аппия Клавдия, который при нём начал её строительство (ок. 312 года до н. э.).

Итак, верны первые и пятый варианты.