Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника KMN, мы можем воспользоваться формулой для площади через основание и высоту. Однако в нашем случае у нас есть медиана и косинус угла, что позволяет использовать другие подходы.

Давайте обозначим:

• Стороны KM и MN равны, пусть они равны a.
• Сторона KN будет основанием, пусть ее длина равна b.
• Медиана, проведенная к основанию KN, равна 12.
• Косинус угла KMN равен 4/5.

Сначала найдем длину стороны KN (b) с помощью свойства медианы. Медиана разделяет основание на две равные части, поэтому:

1. Обозначим середину стороны KN как точку O. Тогда KO = ON = b/2.
2. По теореме о медиане: m = sqrt(a^2 - (b/2)^2), где m - длина медианы. В нашем случае m = 12.
3. Подставим значения в формулу: 12 = sqrt(a^2 - (b/2)^2).
4. Возведем обе стороны в квадрат: 144 = a^2 - (b^2/4).
5. Упорядочим: a^2 = 144 + (b^2/4).

Теперь, используя косинус угла KMN, можем выразить a через b:

1. Косинус угла KMN равен 4/5. Используем формулу: cos(KMN) = (b/2) / a.
2. Подставим известные значения: 4/5 = (b/2) / a.
3. Умножим обе стороны на 5a: 4a = 5(b/2).
4. Упорядочим: 8a = 5b. Таким образом, b = (8/5)a.

Теперь подставим значение b в уравнение для a:

1. Подставим b = (8/5)a в уравнение: a^2 = 144 + ((8/5)a)^2 / 4.
2. Упростим: a^2 = 144 + (64/100)a^2.
3. Умножим на 100, чтобы избавиться от дробей: 100a^2 = 14400 + 64a^2.
4. Упорядочим: 36a^2 = 14400.
5. Разделим на 36: a^2 = 400.
6. Таким образом, a = 20.

Теперь найдем b:

1. b = (8/5) * 20 = 32.

Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения площади треугольника KMN. Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание b = 32, а высота равна длине медианы, которая равна 12:

1. Площадь = (1/2) * 32 * 12 = 192.

Ответ: площадь треугольника KMN равна 192.