Для решения уравнения x^3 - 7x^2 = 8 - 14x с использованием теоремы Виета, сначала упростим уравнение и приведем его к стандартному виду.

1. Переносим все члены уравнения в одну сторону:

• x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0.

Теперь у нас есть кубическое уравнение в виде:

• x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0.

2. По теореме Виета, для уравнения вида x^3 + ax^2 + bx + c = 0, если α, β и γ - корни этого уравнения, то:

• α + β + γ = -a,
• αβ + αγ + βγ = b,
• αβγ = -c.

В нашем случае:

• a = -7,
• b = 14,
• c = -8.

Поэтому по теореме Виета мы можем записать:

• α + β + γ = 7,
• αβ + αγ + βγ = 14,
• αβγ = 8.

3. Теперь нам нужно найти корни уравнения. Для этого можно попробовать подставить некоторые значения x, чтобы найти хотя бы один корень. Например, попробуем x = 2:

• 2^3 - 7(2^2) + 14(2) - 8 = 8 - 28 + 28 - 8 = 0.

Таким образом, x = 2 является корнем уравнения.

4. Теперь, зная один корень, мы можем разложить кубическое уравнение на множители. Используем деление многочленов, чтобы разделить x^3 - 7x^2 + 14x - 8 на (x - 2):

Делим:

• (x^3 - 7x^2 + 14x - 8) : (x - 2).

Результат деления будет:

• x^2 - 5x + 4.

5. Теперь у нас есть уравнение:

• (x - 2)(x^2 - 5x + 4) = 0.

6. Далее решаем квадратное уравнение x^2 - 5x + 4 = 0. Для этого можно использовать дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9.

7. Корни квадратного уравнения:

• x1 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4,
• x2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1.

8. В итоге, мы нашли все корни уравнения:

• x1 = 2,
• x2 = 4,
• x3 = 1.

Таким образом, корни уравнения x^3 - 7x^2 = 8 - 14x: x = 1, x = 2, x = 4.