Короткий ответ: корректно только третье утверждение —

Евтушенко — представитель «громкой лирики», обращавшийся к общественным темам и часто выступавший публично.

1. Определение эпохи.

   Евгений Евтушенко родился в 1933 году и творил в XX веке (особенно активен в 1950–1970-х). Поэтому утверждение «писатель XIX века» неверно.

2. Тематика его поэзии.

   Евтушенко не писал исключительно о природе. В его лирике много общественно-политических мотивов: память о войне, критика замалчивания исторических трагедий, запросы к совести общества (пример — поэма «Бабий Яр»). Поэтому утверждение о «исключительно природе без социальных подтекстов» неверно.

3. Понятие «громкая лирика» и роль Евтушенко.

   Его относят к «громкой лирике» 1950–60-х («шестидесятники»): поэты, обращавшиеся к широким общественным темам, публично выступавшие, влияющие на общественное мнение. Евтушенко активно читал стихи на массовых мероприятиях, участвовал в общественной жизни, был узнаваем и публичен. Это утверждение соответствует историческим фактам.

4. О статусе «поэт-государственный чиновник без общественной позиции».

   Евтушенко не был обычным государственным чиновником и не был лишён общественной позиции. Он играл заметную общественную роль, иногда сотрудничал с властями, но также критиковал и выступал против официальных замалчиваний. Следовательно, утверждение неверно.

Итог: верно только третье утверждение; остальные — ошибочны по указанным причинам.