Каково значение выражения (1-1/12^2)×(1-1/13^2)(1-1/14^2)........(1-1/20^2)?

Литература 8 класс Математическая литература литература 8 класс значение выражения математическая литература выражение 1-1/12^2 учебный материал литература школьная программа литература Новый

Чтобы найти значение выражения (1-1/12^2)×(1-1/13^2)×(1-1/14^2)×...×(1-1/20^2), давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Упрощение каждого множителя

Каждый множитель в выражении имеет вид (1 - 1/n^2), где n - это целое число от 12 до 20. Мы можем упростить каждый из этих множителей:

• 1 - 1/n^2 = (n^2 - 1)/n^2
• n^2 - 1 можно разложить как (n - 1)(n + 1)

Таким образом, каждый множитель можно записать как:

(1 - 1/n^2) = (n - 1)(n + 1)/n^2

Шаг 2: Запись всего произведения

Теперь запишем всё произведение:

(1 - 1/12^2) × (1 - 1/13^2) × ... × (1 - 1/20^2) = ((12 - 1)(12 + 1)/12^2) × ((13 - 1)(13 + 1)/13^2) × ... × ((20 - 1)(20 + 1)/20^2)

Шаг 3: Подстановка значений

Теперь подставим значения:

• (1 - 1/12^2) = (11 × 13)/(12^2)
• (1 - 1/13^2) = (12 × 14)/(13^2)
• (1 - 1/14^2) = (13 × 15)/(14^2)
• (1 - 1/15^2) = (14 × 16)/(15^2)
• (1 - 1/16^2) = (15 × 17)/(16^2)
• (1 - 1/17^2) = (16 × 18)/(17^2)
• (1 - 1/18^2) = (17 × 19)/(18^2)
• (1 - 1/19^2) = (18 × 20)/(19^2)
• (1 - 1/20^2) = (19 × 21)/(20^2)

Шаг 4: Составление общего произведения

Теперь мы можем записать общее произведение:

=(11 × 13)/(12^2) × (12 × 14)/(13^2) × (13 × 15)/(14^2) × (14 × 16)/(15^2) × (15 × 17)/(16^2) × (16 × 18)/(17^2) × (17 × 19)/(18^2) × (18 × 20)/(19^2) × (19 × 21)/(20^2)

Шаг 5: Сокращение

Обратите внимание, что в этом произведении многие элементы сокращаются. Например, 13 в числителе и знаменателе, 14 и так далее. В итоге останется:

(11 × 21) / (12 × 20) = 231 / 240

Шаг 6: Упрощение результата

Теперь мы можем упростить дробь:

231 и 240 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь в конечном итоге остается 231/240.

Ответ: Значение выражения (1-1/12^2)×(1-1/13^2)×...×(1-1/20^2) равно 231/240.