Для исследования функции y = x^2 / (x^2 - 1) с помощью производных, мы будем следовать нескольким шагам:

1. Определение области определения функции.

   Функция определена, когда знаменатель не равен нулю. Найдем, когда x^2 - 1 = 0:

   • x^2 = 1
   • x = ±1

   Таким образом, функция не определена в точках x = 1 и x = -1. Область определения функции:

   • x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞)
2. Нахождение производной функции.

   Используем правило частного для нахождения производной:

   Если y = u/v, где u = x^2 и v = x^2 - 1, то:

   y' = (u'v - uv') / v^2

   Находим u' и v':

   • u' = 2x
   • v' = 2x

   Теперь подставим в формулу:

   y' = (2x(x^2 - 1) - x^2(2x)) / (x^2 - 1)^2

   Упрощаем:

   y' = (2x^3 - 2x - 2x^3) / (x^2 - 1)^2 = -2x / (x^2 - 1)^2

3. Нахождение критических точек.

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не определена:

   -2x = 0 → x = 0

   Также учитываем, что производная не определена в точках x = 1 и x = -1.

   Таким образом, критические точки: x = 0, x = 1, x = -1.

4. Анализ знака производной.

   Для анализа знака производной исследуем интервалы:

   • (-∞, -1): y' > 0 (функция возрастает)
   • (-1, 0): y' < 0 (функция убывает)
   • (0, 1): y' < 0 (функция убывает)
   • (1, +∞): y' > 0 (функция возрастает)
5. Нахождение значений функции в критических точках.

   Теперь найдем значения функции в критических точках:

   • y(0) = 0^2 / (0^2 - 1) = 0
   • y(1) и y(-1) не определены.
6. Анализ пределов.

   Теперь рассмотрим поведение функции при стремлении x к границам области определения:

   • lim (x → -1-) y = +∞
   • lim (x → -1+) y = -∞
   • lim (x → 1-) y = -∞
   • lim (x → 1+) y = +∞
   • lim (x → ±∞) y = 1
7. Построение графика функции.

   Теперь, имея всю информацию, можно построить график функции:

   График будет иметь вертикальные асимптоты в x =