Привет! Давай разберем, как провести полное исследование функции y = x^3 / (x - 1)^2 и построить ее график. Это будет интересно!

Сначала нам нужно понять, при каких значениях x функция определена. Обратите внимание, что в знаменателе у нас (x - 1)^2. Это выражение не может быть равно нулю, иначе мы не сможем делить. Значит, x не должен равняться 1. Таким образом, область определения:

• x ∈ R, x ≠ 1

Нули функции – это те значения x, при которых y = 0. Чтобы найти их, приравняем числитель к нулю:

• x^3 = 0
• Значит, x = 0

Теперь давай посмотрим, что происходит с функцией при разных значениях x:

• Когда x стремится к 1, функция будет стремиться к бесконечности, так как знаменатель стремится к нулю.
• Когда x < 1, y будет отрицательным, а когда x > 1, y будет положительным.

Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, нам нужно найти производную. Но это может быть немного сложно, поэтому просто запомни, что:

• Если производная положительная, функция возрастает.
• Если производная отрицательная, функция убывает.

Теперь, когда у нас есть вся информация, можно построить график. Вот что нужно сделать:

1. Отметь область определения на оси x (все числа, кроме 1).
2. Отметь нуль функции (точка (0, 0)).
3. Проверь, как ведет себя функция около x = 1 (стрелка вверх и вниз).
4. Не забудь отметить, что функция убывает до 1 и возрастает после 1.

Вот и все! Теперь ты знаешь, как провести полное исследование функции и построить график. Удачи!