Какова площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если радиус круга, описанного около ее основания, равен R, а плоский угол при вершине пирамиды составляет 2а?

Математика 1 класс Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды площадь боковой поверхности пирамиды правильная четырехугольная пирамида радиус круга угол при вершине математические задачи 11 класс Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение высоты боковой грани

• Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Радиус описанной окружности R равен половине диагонали основания.
• Диагональ квадрата можно выразить через его сторону a: d = a√2. Таким образом, R = d/2 = a√2/2, откуда a = R√2.
• Теперь найдем высоту боковой грани. Угол при вершине пирамиды равен 2а, значит, угол между высотой боковой грани и линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания, равен a.
• Высота боковой грани (h) можно найти через радиус окружности и угол: h = R * tg(a).

Шаг 2: Определение длины боковой грани

• Длина боковой грани (l) равна расстоянию от вершины пирамиды до середины стороны основания. Это также можно выразить через R и угол a: l = R / cos(a).

Шаг 3: Площадь боковой поверхности

• Площадь одной боковой грани равна (1/2) * основание * высота = (1/2) * a * h.
• Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковой поверхности S будет равна 4 * (1/2) * a * h = 2 * a * h.

Шаг 4: Подстановка значений и упрощение

• Подставим значения a и h: S = 2 * (R√2) * (R * tg(a)).
• Таким образом, S = 2 * R^2 * √2 * tg(a).

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 2 * R^2 * √2 * tg(a), где R - радиус описанной окружности, а a - половина угла при вершине пирамиды.