Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение высоты боковой грани

• Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Радиус описанной окружности R равен половине диагонали основания.
• Диагональ квадрата можно выразить через его сторону a: d = a√2. Таким образом, R = d/2 = a√2/2, откуда a = R√2.
• Теперь найдем высоту боковой грани. Угол при вершине пирамиды равен 2а, значит, угол между высотой боковой грани и линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания, равен a.
• Высота боковой грани (h) можно найти через радиус окружности и угол: h = R * tg(a).

Шаг 2: Определение длины боковой грани

• Длина боковой грани (l) равна расстоянию от вершины пирамиды до середины стороны основания. Это также можно выразить через R и угол a: l = R / cos(a).

Шаг 3: Площадь боковой поверхности

• Площадь одной боковой грани равна (1/2) * основание * высота = (1/2) * a * h.
• Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковой поверхности S будет равна 4 * (1/2) * a * h = 2 * a * h.

Шаг 4: Подстановка значений и упрощение

• Подставим значения a и h: S = 2 * (R√2) * (R * tg(a)).
• Таким образом, S = 2 * R^2 * √2 * tg(a).

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 2 * R^2 * √2 * tg(a), где R - радиус описанной окружности, а a - половина угла при вершине пирамиды.