1.3. Векторное и смешанное произведение векторов.

Как можно вычислить объём параллелепипеда, основанного на векторах (1;0;1), (20;-1;-1), (1;0;1)?

Математика 10 класс Векторное произведение и объем параллелепипеда векторное произведение смешанное произведение объем параллелепипеда векторы математика 10 класс Новый

Чтобы вычислить объем параллелепипеда, основанного на трех векторах, мы можем воспользоваться смешанным произведением этих векторов. Смешанное произведение трех векторов A, B и C определяется как скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других.

Давайте обозначим векторы:

• A = (1; 0; 1)
• B = (20; -1; -1)
• C = (1; 0; 1)

Объем V параллелепипеда можно вычислить по формуле:

V = |A · (B × C)|

Теперь давайте пройдемся по шагам:

1. Вычислим векторное произведение B и C:

Векторное произведение двух векторов B и C можно вычислить по формуле:

B × C = (B2*C3 - B3*C2; B3*C1 - B1*C3; B1*C2 - B2*C1)

Подставляем наши векторы:

• B = (20; -1; -1)
• C = (1; 0; 1)

Тогда:

• B2*C3 - B3*C2 = (-1)*1 - (-1)*0 = -1 - 0 = -1
• B3*C1 - B1*C3 = (-1)*1 - 20*1 = -1 - 20 = -21
• B1*C2 - B2*C1 = 20*0 - (-1)*1 = 0 + 1 = 1

Таким образом, векторное произведение B и C:

B × C = (-1; -21; 1)

2. Теперь вычислим скалярное произведение A и (B × C):

Скалярное произведение двух векторов A и D (где D = B × C) вычисляется по формуле:

A · D = A1*D1 + A2*D2 + A3*D3

Подставляем наши векторы:

• A = (1; 0; 1)
• D = (-1; -21; 1)

Вычисляем:

• A1*D1 + A2*D2 + A3*D3 = 1*(-1) + 0*(-21) + 1*1 = -1 + 0 + 1 = 0
3. Теперь находим объем:

Объем V равен модулю скалярного произведения:

V = |0| = 0

Таким образом, объем параллелепипеда, основанного на данных векторах, равен 0. Это означает, что векторы A, B и C лежат в одной плоскости и не образуют трехмерного объема.