Чтобы вычислить объем параллелепипеда, основанного на трех векторах, мы можем воспользоваться смешанным произведением этих векторов. Смешанное произведение трех векторов A, B и C определяется как скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других.

Давайте обозначим векторы:

• A = (1; 0; 1)
• B = (20; -1; -1)
• C = (1; 0; 1)

Объем V параллелепипеда можно вычислить по формуле:

V = |A · (B × C)|

Теперь давайте пройдемся по шагам:

1. Вычислим векторное произведение B и C:

Векторное произведение двух векторов B и C можно вычислить по формуле:

B × C = (B2*C3 - B3*C2; B3*C1 - B1*C3; B1*C2 - B2*C1)

Подставляем наши векторы:

• B = (20; -1; -1)
• C = (1; 0; 1)

Тогда:

• B2*C3 - B3*C2 = (-1)*1 - (-1)*0 = -1 - 0 = -1
• B3*C1 - B1*C3 = (-1)*1 - 20*1 = -1 - 20 = -21
• B1*C2 - B2*C1 = 20*0 - (-1)*1 = 0 + 1 = 1

Таким образом, векторное произведение B и C:

B × C = (-1; -21; 1)

2. Теперь вычислим скалярное произведение A и (B × C):

Скалярное произведение двух векторов A и D (где D = B × C) вычисляется по формуле:

A · D = A1*D1 + A2*D2 + A3*D3

Подставляем наши векторы:

• A = (1; 0; 1)
• D = (-1; -21; 1)

Вычисляем:

• A1*D1 + A2*D2 + A3*D3 = 1*(-1) + 0*(-21) + 1*1 = -1 + 0 + 1 = 0
3. Теперь находим объем:

Объем V равен модулю скалярного произведения:

V = |0| = 0

Таким образом, объем параллелепипеда, основанного на данных векторах, равен 0. Это означает, что векторы A, B и C лежат в одной плоскости и не образуют трехмерного объема.