2025-09-02 12:01:29
14. В прямоугольном треугольнике ABC описана окружность с центром O. Если угол ZACB=90°, AD=4 см, BE=3 см и DE / AB, найдите AB.
Математика 10 класс Окружности и треугольники математика 10 класс прямоугольный треугольник окружность угол задача на нахождение стороны AB de длина отрезка решение задачи
2025-09-02 12:01:45
Для решения задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и описанной окружности.
Давайте обозначим:
- AB - гипотенуза треугольника ABC;
- AD и BE - высоты, проведенные из вершин A и B на гипотенузу AB;
- DE - отрезок, соединяющий точки D и E, где D - проекция точки A на сторону BC, а E - проекция точки B на сторону AC.
Из условия задачи мы знаем:
- AD = 4 см;
- BE = 3 см;
- Угол ZACB = 90°.
В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, можно использовать формулу для нахождения площади треугольника через основание и высоту:
Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:
- 1. Через основание AB и высоту AD: Площадь = (AB * AD) / 2;
- 2. Через основание AB и высоту BE: Площадь = (AB * BE) / 2;
Теперь мы можем приравнять эти два выражения:
(AB * AD) / 2 = (AB * BE) / 2.
Сократим обе части на (AB / 2), при условии, что AB не равно 0:
AD = BE.
Теперь подставим известные значения:
4 см = 3 см.
Это равенство неверно, следовательно, нам нужно использовать другую формулу для нахождения длины гипотенузы AB с учетом высот AD и BE.
Известно, что в прямоугольном треугольнике площадь также равна:
Площадь = (AD * BE) / 2.
Теперь можем выразить AB через высоты:
Площадь = (AB * AD) / 2 = (AD * BE) / 2.
Теперь подставим значения:
(AB * 4) / 2 = (4 * 3) / 2.
Упрощаем:
AB * 4 = 12.
Теперь делим обе стороны на 4:
AB = 12 / 4 = 3 см.
Таким образом, мы нашли, что длина гипотенузы AB равна 3 см.
Ответ: AB = 5 см.