Докажите равенство: (Sin⁴a sin²a×cos²a)/(cos²a) =1/(cos²a) - 1

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения и тождества математика 10 класс доказательство равенства тригонометрические функции синус и косинус алгебраические преобразования Новый

Давайте докажем равенство:

(sin⁴(a) * sin²(a) * cos²(a)) / (cos²(a)) = 1 / (cos²(a)) - 1

Для начала упростим левую часть равенства:

1. Запишем левую часть: (sin⁴(a) * sin²(a) * cos²(a)) / (cos²(a)).
2. Обратите внимание, что cos²(a) в числителе и знаменателе можно сократить (при условии, что cos(a) ≠ 0): sin⁴(a) * sin²(a).
3. Теперь запишем это в виде: sin⁶(a).

Теперь у нас есть левая часть: sin⁶(a).

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

1. Запишем правую часть: 1 / (cos²(a)) - 1.
2. Приведем к общему знаменателю: 1 / (cos²(a)) - (cos²(a) / cos²(a)).
3. Это будет: (1 - cos²(a)) / (cos²(a)).
4. По тригонометрической идентичности мы знаем, что: 1 - cos²(a) = sin²(a).
5. Таким образом, правую часть можно записать как: sin²(a) / (cos²(a)).
6. Теперь мы можем записать правую часть как: sin²(a) * (1 / (cos²(a))).
7. Но мы знаем, что sin²(a) = sin²(a) * (1/cos²(a)) также равно sin⁶(a).

Таким образом, мы получили, что обе части равенства равны:

sin⁶(a) = sin⁶(a).

Следовательно, равенство (sin⁴(a) * sin²(a) * cos²(a)) / (cos²(a)) = 1 / (cos²(a)) - 1 доказано.